Question

如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE=BE，D是AE上的一點，且DE=CE，連接BD、AC.

(1)試判斷BD與AC的位置關系和數(shù)量關系，并說明理由.

(2)如圖2，若將△DCE繞點E旋轉(zhuǎn)一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關系和數(shù)量關系是否發(fā)生變化，并說明理由.

(3)如圖3，若將(2)中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變，

①試猜想BD與AC的數(shù)量關系，并說明理由.

②你能求出BD與AC的夾角度數(shù)嗎？如果能，請直接寫出夾角度數(shù)；如果不能，請說明理由.

Answer 1

(1)BD與AC的位置關系是：BD⊥AC，數(shù)量關系是BD=AC.理由如下：

如圖1，延長BD交AC于點F.

∵AE⊥BC于E，∴∠BED=∠AEC=90°.

又∵AE=BE，DE=CE，∴△DBE≌△CAE，

∴BD=AC，∠DBE=∠CAE，∠BDE=∠ACE.

∵∠BDE=∠ADF,∴∠ADF=∠ACE.

∵∠ACE+∠CAE=90°，∴∠ADF+∠CAE=90°，

∴BD⊥AC.

(2)如圖2，∵∠AEB=∠DEC=90°，

∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，

即∠BED=∠AEC.

∵AE=BE，DE=CE，∴△BED≌△AEC,

∴BD=AC，∠BDE=∠ACE，∠DBE=∠CAE.

∵∠BFC=∠ACD+∠CDE+∠BDE=∠ACD+∠CDE+∠ACE=90°，

∴BD⊥AC.

(3)①BD與AC的數(shù)量關系是：BD=AC.

∵△ABE和△DCE是等邊三角形,

∴∠AEB=∠ABE=60°，AE=BE，

∠DEC=∠DCE=60°，DE=CE，

∴∠AEB+∠AED=∠DEC+∠AED，

即∠BED=∠AEC,

∴△BED≌△AEC.

∴BD=AC.

②BD與AC的夾角度數(shù)為60°或120°.