Question

如圖，在△ABC中，AD，BE，CF是三條高，交點為H，延長AH交外接圓于點M，
（1）求證：∠FHB=∠BAC；
（2）試猜想線段DH與線段DM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：圓周角定理,等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）先根據(jù)BE，CF是△ABC的高得到∠AEB=∠CFB=90°，然后根據(jù)等角的余角相等得到∠FHB=∠BAC；
（2）連結(jié)BM，由AD，BE是△ABC的高得到∠BEC=90°，∠BDA=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠CBE=∠CAM，根據(jù)圓周角定理得∠CAM=∠CBM，則∠CBM=∠CBE，即BD平分∠MBH，加上BD⊥HM，于是可判斷△BMH為等腰三角形，所以DH=DM．

解答：（1）證明：∵BE，CF是△ABC的高，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，∠FBH+∠FHB=90°，
∴∠FHB=∠BAC；
（2）解：DH=DM．理由如下：
連結(jié)BM，
∵AD，BE是△ABC的高，
∴∠BEC=90°，∠BDA=90°，
∴∠CBE=∠CAM，
∵∠CAM=∠CBM，
∴∠CBM=∠CBE，即BD平分∠MBH，
而BD⊥HM，
∴△BMH為等腰三角形，
∴DH=DM．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)．