【題目】如圖,頂點(diǎn)為A的拋物線y=a(x+2)2﹣4交x軸于點(diǎn)B(1,0),連接AB,過原點(diǎn)O作射線OMAB,過點(diǎn)A作ADx軸交OM于點(diǎn)D,點(diǎn)C為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn),連接CD.

(1)求拋物線的解析式、直線AB的解析式;

(2)若動點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā),以每秒1個(gè)單位長度的速度沿線段OD向點(diǎn)D運(yùn)動,同時(shí)動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā),以每秒2個(gè)單位長度的速度沿線段CO向點(diǎn)O運(yùn)動,當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.

問題一:當(dāng)t為何值時(shí),OPQ為等腰三角形?

問題二:當(dāng)t為何值時(shí),四邊形CDPQ的面積最。坎⑶蟠藭r(shí)PQ的長.

【答案】(1)(2)PQ=

【解析】

試題分析:(1)把點(diǎn)B坐標(biāo)代入拋物線解析式即可求出a的值,寫出頂點(diǎn)A的坐標(biāo),運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式;

(2)問題一,先用t表示OQ,OP的長度,再分類列出方程求解即可得出t的值,問題二:寫出四邊形面積關(guān)于t的二次函數(shù),求最大值即可.

試題解析:(1)由頂點(diǎn)為A的拋物線y=a(x+2)2﹣4交x軸于點(diǎn)B(1,0)可得:

0=a(1+2)2﹣4,解得:a=,

拋物線的解析式:

頂點(diǎn)A(﹣2,﹣4),

設(shè)直線AB:y=bx+k,帶入點(diǎn)A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)得:

解得:,

直線AB的解析式:,

(2)如圖:

ODAB,所以得直線OD:,

ADx軸,解得點(diǎn)D(﹣3,﹣4),

解得OD=5,tanCOD=,sinCOD=,cosCOD=,

把y=0帶入拋物線解析式得:

解得:x=1,或x=﹣5,

所以點(diǎn)C(﹣5,0),

OC=5,

由2t5,得t2.5,

OP=t,OQ=5﹣2t,

當(dāng)OP=OQ時(shí),有:t=5﹣2t,解得t=,

當(dāng)OQ=QP時(shí),有:t=2(5﹣2t)×,解得t=,

當(dāng)QP=OP時(shí),有:5﹣2t=2t×,解得t=,

綜上所述,當(dāng)t為,時(shí),OPQ為等腰三角形;

四邊形CDPQ的面積==×5×4﹣×(5﹣2t)×t×=,

所以當(dāng)時(shí),四邊形CDPQ的面積有最小值,

此時(shí),OQ=,OP=,sinCOD=,cosCOD=,

可求得PQ=

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x

﹣1

0

0.5

2

y

﹣1

2

3.75

2

①ac0;

②當(dāng)x1時(shí),y的值隨x值的增大而減。

③x=2是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一個(gè)根;

④當(dāng)﹣1x2時(shí),ax2+(b﹣1)x+c0.

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A.8.50091×103
B.8.50091×1011
C.8.50091×105
D.8.50091×1013

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(2)求CD的長.

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