Question

10．如圖，拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A（-2，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，點(diǎn)P（m，n）（n＞0）為拋物線上一動點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）①當(dāng)m=-1時(shí)，試判斷△ABP的形狀，并說明理由；②當(dāng)∠APB為銳角時(shí)，請直接寫出m的取值范圍．
（3）在直線y=$\frac{1}{2}$x上是否存在點(diǎn)E，使以點(diǎn)A、B、P、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）①求得P的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求得PA、PB的長，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△ABP是直角三角形；
②由①可知當(dāng)拋物線上的點(diǎn)P在以AB為直徑的圓外時(shí)，滿足∠APB為銳角，根據(jù)圓的軸對稱性可知：-1＜m＜2．
（3）此題應(yīng)分兩種情況討論：
①BC為平行四邊形的邊；那么點(diǎn)P和點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相等，解方程即可得到點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，再代入直線的解析式中求解即可；
②BC為平行四邊形的對角線；根據(jù)平行四邊形的中心對稱性，點(diǎn)P和點(diǎn)E的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，解方程即可得到點(diǎn)E的橫坐標(biāo)，再代入直線的解析式中求解即可．

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+3與x軸交于A（-2，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3；
（2）①把x=m=-1代入y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3得，y=n=2，
∴P（-1，2），
∵A（-2，0）、B（3，0），
∴AB=5，PA=$\sqrt{（-1+2）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{5}$，PB=$\sqrt{（-1-3）^{2}+（2-0）^{2}}$=$\sqrt{20}$，
∴AB²=PA²+PB²=25，
∴△ABP為直角三角形；
②由題意可知，當(dāng)∠APB為銳角時(shí)，應(yīng)該在以AB為直徑的圓外，根據(jù)圓的軸對稱性可知：滿足∠APB為銳角，-1＜m＜2；
（3）因?yàn)锽C只能為平行四邊形的邊，
∵A（-2，0）、B（3，0），
∴PE=AB=5，
設(shè)P（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3），則E（5+x，$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$x），
根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x+3=$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$x，解得x=±1，
∴E₁（4，2）、E₂（6，3）；
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為E（4，2）或（6，3）．

點(diǎn)評 此題主要考查的是利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、圓的性質(zhì)，考查了二次函數(shù)的對稱性以及平行四邊形的特點(diǎn)等重要知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．