Question

【題目】如圖，∠AOB=30°，點P位于∠AOB內(nèi)，OP=3，點M，N分別是射線OA、OB邊上的動點，當△PMN的周長最小時，則∠MPN的度數(shù)為__________°.

Answer 1

【答案】120

【解析】

要求∠NPM的度數(shù)，要在△NPM中進行，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可證∠CPN=∠C，∠DPM=∠D，然后證明∠C+∠D=∠AOB,利用四邊形內(nèi)角和可得答案．

解：作P關(guān)于OB、OA的對稱點C、D，連接CD交OB、OA于N、M．

此時△PNM周長有最小值；

∵P關(guān)于OB、OA的對稱點C、D，，

∴OB垂直平分PC，OA垂直平分PD，

∴CN=PN，PM=DM，

∴∠CPN=∠C，∠DPM=∠D，

∵∠PRN=∠PTM=90°，

∴∠ONM=∠BNC=90-∠C, ∠OMN=∠BMD=90°-∠D,

∵∠ONM+∠OMN+∠AOB=180°,

∴90-∠C+90°-∠D+∠AOB=180°,

∴∠C+∠D=∠AOB,

∴∠CPN+∠DPM=∠AOB=30°，

在四邊形OTPR中，

∴∠CPD+∠BOA=180°，

∵∠NPM+∠CPN+∠DPM+∠AOB =180°，

∴∠NPM=180°-30°-30°∠=120°.

故答案為120．