Question

【題目】已知矩形紙片OBCD的邊OB在x軸上，OD在y軸上，點(diǎn)C在第一象限，且.現(xiàn)將紙片折疊，折痕為EF（點(diǎn)E，F是折痕與矩形的邊的交點(diǎn)），點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再將紙片還原。

（I）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的邊OB上，

①如圖①，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)O重合時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；

②如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在OB上，點(diǎn)F在DC上時(shí)，EF與DP交于點(diǎn)G，若，求點(diǎn)F的坐標(biāo)：

（Ⅱ）若點(diǎn)P落在矩形OBCD的內(nèi)部，且點(diǎn)E，F分別在邊OD，邊DC上，當(dāng)OP取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果即可）。

Answer 1

【答案】（I）①點(diǎn)F的坐標(biāo)為；②點(diǎn)F的坐標(biāo)為；（II）

【解析】

（I）①根據(jù)折疊的性質(zhì)可得,再由矩形的性質(zhì)，即可求出F的坐標(biāo);

②由折疊的性質(zhì)及矩形的特點(diǎn)，易得，得到，再加上平行，可以得到四邊形DEPF是平行四邊形，在由對(duì)角線垂直，得出 是菱形，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，在中，由勾股定理建立方程即可求解;

(Ⅱ)當(dāng)O,P,F點(diǎn)共線時(shí)OP的長(zhǎng)度最短.

解：（I）①∵折痕為EF,點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

∵四邊形OBCD是矩形，

點(diǎn)F的坐標(biāo)為

②∵折痕為EF，點(diǎn)P為點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn).

∵四邊形OBCD是矩形，

，

；

∴四邊形DEPF是平行四邊形.

，

是菱形.

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為x，則

，

，

在中，由勾股定理得

解得

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為

（Ⅱ）