Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點．

（1）試求拋物線的解析式；
（2）P是直線BC上方拋物線上的一個動點，設P的橫坐標為t，P到BC的距離為h，求h與t的函數關系式，并求出h的最大值．
（3）設點M是x軸上的動點，在平面直角坐標系中，是否存在點N，使得以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出所有符合條件的點N坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c過A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點，

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）

解：過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點E，PH⊥BC于點H，連結PB、PC．

∵B（3，0）、C（0，3），

∴OB=OC=3， ，

設直線BC解析式為y=kx+n，則 ，解得 ，

∴直線BC解析式為y=﹣x+3，

∵點P的橫坐標為t，且在拋物線y=﹣x2+2x+3上，

∴P（t，﹣t2+2t+3），

又∵PD⊥x軸于點D，交BC于點E，

∴D（t，0），E（t，﹣t+3），

∴PE=（﹣t2+2t+3）﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，

∴ = ，

又∵ ，

∴ ，

∴h與t的函數關系式為： （0＜t＜3），

∵ ，

∴當 時，h有最大值為

（3）

解：存在．

若AM為菱形對角線，則AM與CN互相垂直平分，

∴N（0，﹣3）；

若CM為菱形對角線，則 ，

∴ 或 ；

若AC為菱形對角線，則CN=AM=CM，

設M（m，0），由CM2=AM2，得m2+32=（m+1）2，解得m=4，

∴CN=AM=CM=5，

∴N（﹣5，3）．

綜上可知存在點N，使得以點A、C、M、N為頂點的四邊形是菱形，符合條件的點N有4個：N1（0，﹣3）， ， ，N4（﹣5，3）

【解析】（1）由A、B、C三點的坐標，利用待定系數法可求得拋物線的解析式；（2）過點P作PD⊥x軸于點D，交BC于點E，PH⊥BC于點H，連結PB、PC，可先求得直線BC的解析式，則可用t分別表示出E的坐標，從而可表示出PE的長，再可用t表示出△PBC的面積，再利用等積法可用t表示出h，利用二次函數的性質可求得h的最大值；（3）分AM、CM和AC為對角線三種情況，分別根據菱形的性質可求得N點的坐標．