【題目】如圖,已知正三角形ABC的邊長AB480毫米.一質(zhì)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā),沿BA方向,以每秒鐘10毫米的速度向點(diǎn)A運(yùn)動.

(1)建立合適的直角坐標(biāo)系,用運(yùn)動時間t(秒)表示點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)過點(diǎn)D在三角形ABC的內(nèi)部作一個矩形DEFG,其中EFBC邊上,GAC邊上.在圖中找出點(diǎn)D,使矩形DEFG是正方形(要求所表達(dá)的方式能體現(xiàn)出找點(diǎn)D的過程);

(3)過點(diǎn)D、B、C作平行四邊形,當(dāng)t為何值時,由點(diǎn)C、B、D、F組成的平行四邊形的面積等于三角形ADC的面積,并求此時點(diǎn)F的坐標(biāo).

【答案】(1);(2) 當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B的距離等于10t=960(2﹣)毫米時,矩形是正方形;(3) F(560,80),F(xiàn)′(400,﹣80,F″(﹣400,80

【解析】

運(yùn)用相似三角形及平行四邊形的性質(zhì)求解.

(1)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,作DEx軸于E,

t秒后,DB=10t

ABC是正三角形,故∠B=60°

RtDEB中,DE=DB×sinB=10t×=5t,

BE=DB×cosB=10t×=5t

即:D(5t,5);

(2)①先畫一個正方形,再利用位似圖形找出點(diǎn)D,具體作法閱圖

②利用正三角形與矩形是軸對稱圖形或利用相似三角形的性質(zhì)求得DG=480﹣10t,DE=5t.然后由480﹣10t=5t,

求出t==96(2﹣)(毫米).所以當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B的距離等于10t=960(2﹣)毫米時,矩形是正方形.

(3)如圖所示:

當(dāng)點(diǎn)F在第一象限時,這個平行四邊形是CBDF;

當(dāng)點(diǎn)F在第二象限時,這個平行四邊形是BCDF“;

當(dāng)點(diǎn)F在第三象限時,這個平行四邊形是CDBF'.

但平行四邊形BCDF“的面積、平行四邊形CDBF'的面積

都與平行四邊形CBDF的面積相等(等底等高)

平行四邊形CBDF的底BC=480,相應(yīng)的高是5則面積是2400;三角形ADC的底AD=480﹣10t,相應(yīng)的高是240

則面積是120(480﹣10t).

由2400 =12048010t),解得t=16

所以當(dāng)t=16秒時,由點(diǎn)C、B、D、F組成的平

行四邊形的面積等于三角形ADC的面積.

∴此時,點(diǎn)F的坐標(biāo)是F(560,80),F(xiàn)′(400,﹣80),F″(﹣400,80).

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(1)求⊙M的半徑;

(2)求證:BD平分∠ABO;

(3)在線段BD的延長線上找一點(diǎn)E,使得直線AE恰為⊙M的切線,求此時點(diǎn)E的坐標(biāo).

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【題目】小明和爸爸周末到濕地公園進(jìn)行鍛煉,兩人同時從家出發(fā),勻速騎共享單車到達(dá)公園入口,然后一同勻速步行到達(dá)驛站,到達(dá)驛站后小明的爸爸立即又騎共享單車按照來時騎行速度原路返回,在公園入口處改為步行,并按來時步行速度原路回家,小明到達(dá)驛站后逗留了10分鐘之后騎車回家,爸爸在鍛煉過程中離出發(fā)地的路程與出發(fā)的時間的函數(shù)關(guān)系如圖.

(1)圖中m_____n_____;(直接寫出結(jié)果)

(2)小明若要在爸爸到家之前趕上,問小明回家騎行速度至少是多少?

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【題目】操作:小明準(zhǔn)備制作棱長為1cm的正方體紙盒,現(xiàn)選用一些廢棄的圓形紙片進(jìn)行如下設(shè)計(jì):

說明:方案一:圖形中的圓過點(diǎn)AB、C;

方案二:直角三角形的兩直角邊與展開圖左下角的正方形邊重合,斜邊經(jīng)過兩個正方形的頂點(diǎn).

紙片利用率=×100%

發(fā)現(xiàn):(1)方案一中的點(diǎn)A、B恰好為該圓一直徑的兩個端點(diǎn).

你認(rèn)為小明的這個發(fā)現(xiàn)是否正確,請說明理由.

2)小明通過計(jì)算,發(fā)現(xiàn)方案一中紙片的利用率僅約為38.2%

請幫忙計(jì)算方案二的利用率,并寫出求解過程.

探究:

3)小明感覺上面兩個方案的利用率均偏低,又進(jìn)行了新的設(shè)計(jì)(方案三),請直接寫出方案三的利用率.

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(1)求證:BC=CD;

(2)分別延長AB,DC交于點(diǎn)P,若PB=OB,CD=2,求⊙O的半徑.

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