【題目】如圖,BC是⊙O的直徑,點A在⊙O上,AD⊥BC,垂足為D,弧AE等于弧AB,BE分別交AD、AC于點F、G.
(1)判斷△FAG的形狀,并說明理由;
(2)若點E和點A在BC的兩側(cè),BE、AC的延長線交于點G,AD的延長線交BE于點F,其余條件不變,(1)中的結(jié)論還成立嗎?請說明理由.

【答案】
(1)解:等腰三角形;

∵BC為直徑,AD⊥BC,

∴∠BAD+∠CAD=90°,∠C+∠CAD=90°,

∴∠BAD=∠C,

∴∠ABE=∠C,

∴∠ABE=∠BAD,

∴AF=BF,

∵∠BAD+∠CAD=90°,∠ABE+∠AGB=90°,

∴∠DAC=∠AGB,

∴FA=FG,

∴△FAG是等腰三角形


(2)解:成立;

∵BC為直徑,AD⊥BC,

∴∠BAD+∠CAD=90°,∠C+∠CAD=90°,

∴∠BAD=∠C,

,

∴∠ABE=∠C,

∴∠ABE=∠BAD,

∴AF=BF,

∵∠BAD+∠CAD=90°,∠ABE+∠AGB=90°,

∴∠DAC=∠AGB,

∴FA=FG,

∴△FAG是等腰三角形


【解析】(1)首先根據(jù)圓周角定理及垂直的定義得到∠BAD+∠CAD=90°,∠C+∠CAD=90°,從而得到∠BAD=∠C,然后利用等弧對等角等知識得到AF=BF,從而證得FA=FG,判定等腰三角形;(2)成立,證明方法同(1).
【考點精析】利用垂徑定理和圓周角定理對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條;頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

練習冊系列答案
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∴∠ABD   °,

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