Question

11．已知A（-2，3），B（2，1），P點在x軸上，若PA+PB長度最小，則點P坐標為（1，0）；若PA-PB長度最大，則點P坐標為（4，0）．

Answer 1

分析 找到B點關于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于點P，即可得到要求的P點，再根據(jù)一次函數(shù)的性質，找到各點的坐標，即可得出答案．根據(jù)三角形的性質，兩邊之差小于第三邊，連接AB交x軸于點P，即可得到要求的P點．

解答 解：求最小值：如圖所示：
，
作B點關于x軸的對稱點B'，連接AB′，交x軸于點P，
∵B和B′對稱，
∴PB=PB′，
∴AP+BP=PA+B′P，
根據(jù)兩點之間線段最短可知P點為所求．
∵已知A（-2，3），B（2，1），
∴B′坐標為（2，-1），
則可求得最短距離為AB′的長度，AB′=$\sqrt{（2+2）^{2}+（3+1）^{2}}=4\sqrt{2}$，
∴PA+PB長度最小，則最小值為4$\sqrt{2}$．
直線AB'的解析式為y=mx+n，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{-2m+n=3}\\{2m+n=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
把y=0代入y=-x+1，可得：x=1，
所以點P的坐標為（1，0）；
求最大值：如圖所示：
，
連接AB并延長，交x軸于點P，
任取一點P'，連接AP'、BP'，
在△ABP'中，根據(jù)三角形的性質，兩邊之差小于第三邊，
即AP'-BP'＜AB，
∴可知AB為所求的最大值，
∵已知A（-2，3），B（2，1），
∴直線AB的解析式為y=ax+b，
可得：$\left\{\begin{array}{l}{-2a+b=3}\\{2a+b=1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-0.5}\\{b=2}\end{array}\right.$，
把y=0代入y=-0.5x+2中，可得：x=4，
所以點P的坐標為（4，0）．
故答案為：（1，0）；（4，0）．

點評 本題屬于綜合性的試題，包含了一次函數(shù)的應用、對稱圖形的性質、三角形的性質以及最大值最小值的求法．解決這類題目要求對于所學的各種知識點要能夠融會貫通，達到“信手拈來”的地步．