(2012•麗水)如圖,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=120°,AD=
3
,AB=6.在底邊AB上取點(diǎn)E,在射線DC上取點(diǎn)F,使得∠DEF=120°.
(1)當(dāng)點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí),線段DF的長度是
6
6

(2)若射線EF經(jīng)過點(diǎn)C,則AE的長是
2或5
2或5
分析:(1)過E點(diǎn)作EG⊥DF,由E是AB的中點(diǎn),得出DG=3,再根據(jù)∠DEG=60°得出∠DEF=120°,由tan60°=
GF
3
即可求出GF的長,進(jìn)而得出結(jié)論;
(2)過點(diǎn)B作BH⊥DC,延長AB至點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CM⊥AB于F,則BH=AD=
3
,再由銳角三角函數(shù)的定義求出CH及BC的長,設(shè)AE=x,則BE=6-x,利用勾股定理用x表示出DE及EF的長,再判斷出△EDF∽△BCE,由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可得出關(guān)于x的方程,求出x的值即可.
解答:解:(1)如圖1,過E點(diǎn)作EG⊥DF,
∵E是AB的中點(diǎn),
∴DG=3,
∴EG=AD=
3
,
∴∠DEG=60°,
∵∠DEF=120°,
∴tan60°=
GF
3
,
解得GF=3,
∴DF=6;


(2)如圖2所示:
過點(diǎn)B作BH⊥DC,延長AB至點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CM⊥AB于M,則BH=AD=MF=
3
,
∵∠ABC=120°,AB∥CD,
∴∠BCH=60°,
∴CH=BM=
BH
tan60°
=
3
3
=1,
設(shè)AE=x,則BE=6-x,
在Rt△EFM中,EF=
(EB+BM)2+MF2
=
(6-x+1)2+(
3
)
2
=
(7-x)2+3

∵AB∥CD,
∴∠EFD=∠BEC,
∵∠DEF=∠B=120°,
∴△EDF∽△BCE,即△EDF∽△BFE
DF
EF
=
EF
BE
,
∴EF2=DF•BE,即(7-x)2+3=7(6-x)
解得x=2或5
故答案為:2或5.
點(diǎn)評:本題考查了解直角梯形及相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,特殊角的三角函數(shù)值等,解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形,利用數(shù)形結(jié)合求解.
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50°
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