【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AD是⊙O的弦,點(diǎn)F是DA延長線的一點(diǎn),AC平分∠FAB交⊙O于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CE⊥DF,垂足為點(diǎn)E.
(1)求證:CE是⊙O的切線;
(2)若AE=1,CE=2,求⊙O的半徑.
【答案】
(1)證明:連接CO,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC,
∵AC平分∠FAB,
∴∠OCA=∠CAE,
∴OC//FD,
∵CE⊥DF,
∴OC⊥CE,
∴CE是⊙O的切線;
(2)證明:連接BC,
在Rt△ACE中,AC= = = ,
∵AB是⊙O的直徑,
∴∠BCA=90°,
∴∠BCA=∠CEA,
∵∠CAE=∠CAB,
∴△ABC∽△ACE,
∴ = ,
∴ ,
∴AB=5,
∴AO=2.5,即⊙O的半徑為2.5.
【解析】(1)證明:連接CO,證得∠OCA=∠CAE,由平行線的判定得到OC//FD,再證得OC⊥CE,即可證得結(jié)論;(2)證明:連接BC,由圓周角定理得到∠BCA=90°,再證得△ABC∽△ACE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理和切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握定理1:在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等; 定理2:一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上;切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)觀察思考:如圖,線段AB上有兩個(gè)點(diǎn)C、D,請(qǐng)分別寫出以點(diǎn)A、B、C、D為端點(diǎn)的線段,并計(jì)算圖中共有多少條線段;
(2)模型構(gòu)建:如果線段上有m個(gè)點(diǎn)(包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)),則該線段上共有多少條線段?請(qǐng)說明你結(jié)論的正確性;
(3)拓展應(yīng)用:某班45名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中,若每兩人握1次手問好,那么共握多少次手?
請(qǐng)將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化為上述模型,并直接應(yīng)用上述模型的結(jié)論解決問題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商家預(yù)測(cè)一種應(yīng)季襯衫能暢銷市場(chǎng),就用13200元購進(jìn)了一批這種襯衫,面市后果然供不應(yīng)求,商家又用28800元購進(jìn)了第二批這種襯衫,所購數(shù)量是第一批購進(jìn)量的2倍,但單價(jià)貴了10元.
(1)該商家購進(jìn)的第一批襯衫是多少件?
(2)若兩批襯衫按相同的標(biāo)價(jià)銷售,最后剩下50件按八折優(yōu)惠賣出,如果兩批襯衫全部售完后利潤不低于25%(不考慮其他因素),那么每件襯衫的標(biāo)價(jià)至少是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,,點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A即停止;同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C即停止,點(diǎn)P、Q的速度都是,連接PQ、AQ、設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts.
當(dāng)t為何值時(shí),四邊形ABQP是矩形;
當(dāng)t為何值時(shí),四邊形AQCP是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,第一個(gè)正方形ABCD的位置如圖所示,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,4),延長CB交x軸于點(diǎn)A1,作第二個(gè)正方形A1B1C1C;延長C1B1交x軸于點(diǎn)A2,作第三個(gè)正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,第2018個(gè)正方形的面積為( 。
A. 20×()2017 B. 20×()2018 C. 20×()4036 D. 20×()4034
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,已知線段AB=12cm,點(diǎn)C為線段AB上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D,E分別是AC和BC中點(diǎn).
(1)若點(diǎn)C恰好是AB的中點(diǎn),則DE=_______cm;
(2)若AC=4cm,求DE的長;
(3)試說明無論AC取何值(不超過12cm),DE的長不變;
(4)如圖②,已知∠AOB=120°,過角的內(nèi)部任一點(diǎn)C畫射線OC.若OD,OE分別平分∠AOC和∠BOC.試說明∠DOE的度數(shù)與射線OC的位置無關(guān).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD中,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,AO=CO,BO=DO,且∠ABC+∠ADC=180°.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形.
(2)若∠ADF:∠FDC=3:2,DF⊥AC,則∠BDF的度數(shù)是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】大家在學(xué)完勾股定理的證明后發(fā)現(xiàn)運(yùn)用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可 以證明一類含有線段的等式,這種解決問題的方法我們稱之為面積法.學(xué)有所用:在等腰 三角形 ABC中,AB=AC,其一腰上的高為h,M 是底邊BC上的任意一點(diǎn),M 到腰AB、AC 的距離分別為 h1、h2 .
(1)請(qǐng)你結(jié)合圖形來證明: h1+h2=h;
(2)當(dāng)點(diǎn)M在BC延長線上時(shí),h1、h2、h 之間又有什么樣的結(jié)論.請(qǐng)你畫出圖形,并直
接寫出結(jié)論不必證明;
(3)利用以上結(jié)論解答,如圖在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線l1:y=x+3,l2:y=-3x+3
若 l2上的一點(diǎn)M 到l1的距離是,求點(diǎn) M 的坐標(biāo).
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