【題目】如圖1,已知拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過(guò)A(3,0)、B(4,4)兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式;
(2)將直線OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后,得到的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)D,求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)如圖2,若點(diǎn)N在拋物線上,且∠NBO=∠ABO,則在(2)的條件下,求出所有滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P坐標(biāo)(點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對(duì)應(yīng)).
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx(a≠0)經(jīng)過(guò)A(3,0)、B(4,4)
∴將A與B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得: ,
解得: ,
∴拋物線的解析式是y=x2﹣3x
(2)
解:設(shè)直線OB的解析式為y=k1x,由點(diǎn)B(4,4),
得:4=4k1,解得:k1=1
∴直線OB的解析式為y=x,
∴直線OB向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為:y=x﹣m,
∵點(diǎn)D在拋物線y=x2﹣3x上,
∴可設(shè)D(x,x2﹣3x),
又∵點(diǎn)D在直線y=x﹣m上,
∴x2﹣3x=x﹣m,即x2﹣4x+m=0,
∵拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn),
∴△=16﹣4m=0,
解得:m=4,
此時(shí)x1=x2=2,y=x2﹣3x=﹣2,
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,﹣2)
(3)
解:∵直線OB的解析式為y=x,且A(3,0),
∴點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是(0,3),
根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得出∠A′BO=∠ABO,
設(shè)直線A′B的解析式為y=k2x+3,過(guò)點(diǎn)(4,4),
∴4k2+3=4,解得:k2= ,
∴直線A′B的解析式是y= ,
∵∠NBO=∠ABO,∠A′BO=∠ABO,
∴BA′和BN重合,
即點(diǎn)N在直線A′B上,
∴設(shè)點(diǎn)N(n, ),又點(diǎn)N在拋物線y=x2﹣3x上,
∴ =n2﹣3n,
解得:n1=﹣ ,n2=4(不合題意,舍去)
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣ , ).
方法一:
如圖1,將△NOB沿x軸翻折,得到△N1OB1,
則N1(- ,- ),B1(4,﹣4),
∴O、D、B1都在直線y=﹣x上.
∵△P1OD∽△NOB,△NOB≌△N1OB1,
∴△P1OD∽△N1OB1,
∴ ,
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(- ,- ).
將△OP1D沿直線y=﹣x翻折,可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P2( , ),
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(- ,- )或( , ).
方法二:
如圖2,將△NOB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△N2OB2,
則N2( , ),B2(4,﹣4),
∴O、D、B1都在直線y=﹣x上.
∵△P1OD∽△NOB,△NOB≌△N2OB2,
∴△P1OD∽△N2OB2,
∴ ,
∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為( , ).
將△OP1D沿直線y=﹣x翻折,可得另一個(gè)滿足條件的點(diǎn)P2(- ,- ),
綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(- ,- )或( , ).
方法三:
∵直線OB:y=x是一三象限平分線,
∴A(3,0)關(guān)于直線OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′(0,3),
∴ 得:x1=4(舍),x2=﹣ ,
∴N(﹣ , ),
∵D(2,﹣2),∴l(xiāng)OD:y=﹣x,
∵lOD:y=x,
∴OD⊥OB,
∵△POD∽△NOB,
∴N(﹣ , )旋轉(zhuǎn)90°后N1( , )或N關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N2(﹣ ,﹣ ),
∵OB=4 ,OD=2 ,
∴ ,
∵P為ON1或ON2中點(diǎn),
∴P1( , ),P2(- ,- ).
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可;(2)根據(jù)已知條件可求出OB的解析式為y=x,則向下平移m個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為:y=x﹣m.由于拋物線與直線只有一個(gè)公共點(diǎn),意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程,其根的判別式等于0,由此可求出m的值和D點(diǎn)坐標(biāo);(3)綜合利用幾何變換和相似關(guān)系求解.方法一:翻折變換,將△NOB沿x軸翻折;方法二:旋轉(zhuǎn)變換,將△NOB繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°.特別注意求出P點(diǎn)坐標(biāo)之后,該點(diǎn)關(guān)于直線y=﹣x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也滿足題意,即滿足題意的P點(diǎn)有兩個(gè),避免漏解.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí),掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn),以及對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)的理解,了解增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而減小;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱(chēng)軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱(chēng)軸右邊,y隨x增大而減。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:數(shù)軸上、兩點(diǎn)表示的有理數(shù)分別為、,且,
求的值.
數(shù)軸上的點(diǎn)與、兩點(diǎn)的距離的和為,求點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)的值.
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【題目】如圖1,點(diǎn)O在線段AB上,AO=2,OB=1,OC為射線,且∠BOC=60°,動(dòng)點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O出發(fā),沿射線OC做勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)當(dāng)t= 秒時(shí),則OP= , S△ABP=;
(2)當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí),求t的值;
(3)如圖2,當(dāng)AP=AB時(shí),過(guò)點(diǎn)A作AQ∥BP,并使得∠QOP=∠B,求證:AQBP=3.
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【題目】某種型號(hào)油電混合動(dòng)力汽車(chē),從A地到B地燃油行駛純?nèi)加唾M(fèi)用76元,從A地到B地用電行駛純電費(fèi)用26元,已知每行駛1千米,純?nèi)加唾M(fèi)用比純用電費(fèi)用多0.5元.
(1)求每行駛1千米純用電的費(fèi)用;
(2)若要使從A地到B地油電混合行駛所需的油、電費(fèi)用合計(jì)不超過(guò)39元,則至少用電行駛多少千米?
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,AD=1,BC=3,E是邊CD的中點(diǎn),連接BE并延長(zhǎng)與AD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形BDFC是平行四邊形;
(2)若△BCD是等腰三角形,求四邊形BDFC的面積.
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【題目】 如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),AD和過(guò)C點(diǎn)的切線互相垂直,垂足為D,AD交⊙O于點(diǎn)E.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)若∠B=60°,CD=2 ,求AE的長(zhǎng).
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【題目】
(1)如圖1,點(diǎn)E、F在AC上,AB∥CD,AB=CD,AE=CF,求證:△ABF≌△CDE
(2)如圖2,方格紙中的每個(gè)小方格是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形. ①畫(huà)出將Rt△ABC向右平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后的Rt△A1B1C1
②再將Rt△A1B1C1繞點(diǎn)C1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的Rt△A2B2C2 , 并求出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段A1C1所掃過(guò)的面積(結(jié)果保留π)
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【題目】八(2)班組織了一次經(jīng)典朗讀比賽,甲、乙兩隊(duì)各10人的比賽成績(jī)?nèi)缦卤恚?0分制):
甲 | 7 | 8 | 9 | 7 | 10 | 10 | 9 | 10 | 10 | 10 |
乙 | 10 | 8 | 7 | 9 | 8 | 10 | 10 | 9 | 10 | 9 |
(1)甲隊(duì)成績(jī)的中位數(shù)是分,乙隊(duì)成績(jī)的眾數(shù)是分;
(2)計(jì)算乙隊(duì)的平均成績(jī)和方差;
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【題目】如圖,已知數(shù)軸上的點(diǎn)A表示的數(shù)為6,點(diǎn)B表示的數(shù)為﹣4,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒(x>0).
(1)當(dāng)x= 秒時(shí),點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A;
(2)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中點(diǎn)P表示的數(shù)是 (用含x的代數(shù)式表示);
(3)當(dāng)P,C之間的距離為2個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí),求x的值.
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