Question

如圖，已知：△ABC中，AB=AC，且⊙O內(nèi)切于△ABC、D、E、F是切點，又CF交圓于G，EG延長交BC于M，AG交圓于K．
（1）求證：△MCG∽△MEC；
（2）若EM⊥CD，求cos∠FAK的值．

Answer 1

考點：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題,探究型

分析：（1）根據(jù)切線長定理得出AF=AE，利用切線的判定定理得出EF∥BC，進而得出∠GEC=∠GCM即可得出△MCG∽△MEC；
（2）利用△MCG∽△MEC，得出MC²=MG•ME，進而得出，△ABC為正三角形，設(shè)CM=a，則AF=CD=2a，AC=4a，CF=2

3

a，CG=

2 3

3

a，故FG=CF-CG=2

3

a-

2 3

3

a=

4 3

3

a，即可得出AG的長，進而得出答案．

解答：（1）證明：如圖所示：
連接EF．
∵⊙O是等腰三角形ABC的內(nèi)切圓，
∴∠GEC=∠EFC，AF=AE
∵AB=AC，
∴EF∥BC，
∴∠EFC=∠GCM，
∴∠GEC=∠GCM，
∵∠GMC=∠EMC，
∴△MCG∽△MEC；

（2）解：∵△MCG∽△MEC，
∴

MC

MG

=

ME

MC

，
∴MC²=MG•ME，
∵CB與圓切于點D，
∴MD²=MG•ME，
∴MC²=MD²，
∴MC=MD，
又∵EM⊥CD，CM=

1

2

CD=

1

2

CE，
故∠2=∠3=30°，∠ACB=60°，△ABC為正三角形，
E、F、D為三邊中點，且CF⊥AB，設(shè)CM=a，
∴AF=CD=2a，AC=4a，CF=2

3

a，CG=

2 3

3

a，
∴FG=CF-CG=2

3

a-

2 3

3

a=

4 3

3

a，
∴在Rt△AFG中，
AG=

AF2+FG2

=

( 4 3 3 a)2+(2a)2

=

2 21

3

a，
∴cos∠FAK=

AF

AG

=

2a

2 21 3 a

=

21

7

．

點評：此題主要考查了切線長定理以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識，熟練應(yīng)用切線長定理是解題關(guān)鍵．