Question

求方程x³=2y³+4z³的整數(shù)解．

Answer 1

考點(diǎn)：高次方程

專題：存在型

分析：首先根據(jù)方程x³=2y³+4z³的整數(shù)解很容易確定（0，0，0）為方程的一組解．再假設(shè)（x₁，y₁，z₁）為方程的另一組非零解，則觀察方程x³=2y³+4z³及根據(jù)整數(shù)奇偶性可知：x₁為偶數(shù)，假設(shè)x₁=2x₂．根據(jù)同樣的原理，也可確定y為偶數(shù)、z為偶數(shù)，并且循環(huán)反復(fù)，有（x，y，z）為方程解．因而有(

x

2

，

y

2

，

z

2

)，…，(

x

2n

，

y

2n

，

z

2n

)均為方程的解．而(

x

2n

，

y

2n

，

z

2n

)不可能永遠(yuǎn)為偶數(shù)．因而只能是（0，0，0）這一組解．

解答：解：顯然（0，0，0）為方程的一組解，設(shè)（x₁，y₁，z₁）為方程的另一組非零解，則利用奇偶性可知：x₁為偶數(shù)，x₁=2x₂
則8x₂³=2y³+4z³，即4x₂³=y₁³+2z₁³
∴y₁為偶數(shù)：y₁=2y₂
∴8x₂³=4x₂³-2z₁³，即4y₂³=2x₂³-z₁³
∴z₁為偶數(shù)：z₁=2z₂
∴8z₂³=2x₂³-4y₂³，即4z₂³=x₂³-2y₂³
∴x₂為偶數(shù)
如此循環(huán)反復(fù)，有（x，y，z）為方程解，
則（

x

2

，

y

2

，

z

2

）為方程的解，…，（

x

2n

，

y

2n

，

z

2n

）為方程的解
∴而（

x

2n

，

y

2n

，

z

2n

）不可能永遠(yuǎn)為偶數(shù)．
∴只有x=y=z=0為方程的解．

點(diǎn)評(píng)：解決本題主要是驗(yàn)證當(dāng)x、y、z為偶數(shù)時(shí)，不存在，進(jìn)而只能確定（0，0，0）為方程的這一組解．