【題目】如圖本題圖①，在等腰Rt中， ,，為線段上一點(diǎn)，以為半徑作交于點(diǎn),連接、，線段、、的中點(diǎn)分別為、、.

（1）試探究是什么特殊三角形？說明理由；

（2）將繞點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，上述結(jié)論是否成立？并證明結(jié)論；

（3）若,把繞點(diǎn)在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，求的面積y的最大值與最小值的差.

【答案】（1）為等腰直角三角形；（2）仍然為等腰直角三角形；（3）的最大值與最小值的差為：

【解析】分析：（1）由OA=OB,OP=OQ可得AP=BQ,再利用三角形的中位線可得△DMN是等腰直角三角形；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AOP=∠BOQ，從而可證△AOP≌△BOQ，由三角形中位線的性質(zhì)可得DM=DN，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和可證∠MDN=90°，從而結(jié)論得證；

（3）如圖，設(shè)⊙交于點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，連接，，.由三角形三邊的關(guān)系得，，由三角形的面積公式得，從而可求出y的最大值和最小值，然后相減即可.

詳解：（1）為等腰直角三角形

分別為的中點(diǎn)，

且

同理：

.

又

即為等腰直角三角形.

（2）如圖，仍然為等腰直角三角形.

證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)， .

≌,

.

分別為的中點(diǎn)， 且

同理：,

在等腰Rt中,

同理：

= .

為等腰直角三角形.

(3), 如圖，設(shè)⊙交于點(diǎn),交延長線于點(diǎn)，

連接

,而，

同理，

由題意，,

的最小值為. 同理，最大值為，

從而得的最大值與最小值的差為：

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)D，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．

（1）試判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若BD=2，BF=2，求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校組織學(xué)生書法比賽，對(duì)參賽作品按A、B、C、D四個(gè)等級(jí)進(jìn)行了評(píng)定．現(xiàn)隨機(jī)取部分學(xué)生書法作品的評(píng)定結(jié)果進(jìn)行分析，并繪制扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

根據(jù)上述信息完成下列問題：

（1）求這次抽取的樣本的容量；

（2）請(qǐng)?jiān)趫D②中把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）已知該校這次活動(dòng)共收到參賽作品750份，請(qǐng)你估計(jì)參賽作品達(dá)到B級(jí)以上（即A級(jí)和B級(jí)）有多少份？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于點(diǎn)E．

（1）求證：△ABD≌△EBD；

（2）過點(diǎn)E作EF∥DA，交BD于點(diǎn)F，連接AF．求證：四邊形AFED是菱形．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某文化用品商店用1 000元購進(jìn)一批“晨光”套尺，很快銷售一空；商店又用1 500元購進(jìn)第二批該款套尺，購進(jìn)時(shí)單價(jià)是第一批的倍，所購數(shù)量比第一批多100套．

（1）求第一批套尺購進(jìn)時(shí)單價(jià)是多少？

（2）若商店以每套4元的價(jià)格將這兩批套尺全部售出，可以盈利多少元？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知：二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值5.

（1）求此二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；

（2）將函數(shù)圖象x軸下方部分沿x軸向上翻折，得到的新圖象與直線恒有四個(gè)交點(diǎn)，從左到右，四個(gè)交點(diǎn)依次記為，當(dāng)以為直徑的圓與軸相切時(shí)，求的值.

（3）若點(diǎn)是(2)中翻折得到的拋物線弧部分上任意一點(diǎn)，若關(guān)于m的一元二次方程 恒有實(shí)數(shù)根時(shí)，求實(shí)數(shù)k的最大值.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩人利用不同的交通工具，沿同一路線分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)勻速前往C地（B在A、C兩地的途中）．設(shè)甲、乙兩車距A地的路程分別為y甲、y乙（千米），行駛的時(shí)間為x（小時(shí)），y甲、y乙與x之間的函數(shù)圖象如圖所示．

（1）直接寫出y甲、y乙與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖，過點(diǎn)（1，0）作x軸的垂線，分別交y甲、y乙的圖象于點(diǎn)M，N．求線段MN的長，并解釋線段MN的實(shí)際意義；

（3）在乙行駛的過程中，當(dāng)甲、乙兩人距A地的路程差小于30千米時(shí)，求x的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】用火柴棒按下列方式搭建三角形：

三角形個(gè)數(shù)

1

2

3

4

…

火柴棒根數(shù)

3

5

7

9

…

(1)當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)為n時(shí)，火柴棒的根數(shù)是多少？

(2)求當(dāng)n＝100時(shí)，有多少根火柴棒？

(3)當(dāng)火柴棒的根數(shù)為2017時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)是多少？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】七（1）班的學(xué)習(xí)小組學(xué)習(xí)“線段中點(diǎn)”內(nèi)容時(shí)，得到一個(gè)很有意思的結(jié)論，請(qǐng)跟隨他們一起思考.

（1）發(fā)現(xiàn)：

如圖1，線段，點(diǎn)在線段上，當(dāng)點(diǎn)是線段和線段的中點(diǎn)時(shí)，線段的長為_________；若點(diǎn)在線段的延長線上，其他條件不變（請(qǐng)?jiān)趫D2中按題目要求將圖補(bǔ)充完整），得到的線段與線段之間的數(shù)量關(guān)系為_________.

（2）應(yīng)用：

如圖3，現(xiàn)有長為40米的拔河比賽專用繩，其左右兩端各有一段（和）磨損了，磨損后的麻繩不再符合比賽要求. 已知磨損的麻繩總長度不足20米. 小明認(rèn)為只利用麻繩和一把剪刀（剪刀只用于剪斷麻繩）就可以得到一條長20米的拔河比賽專用繩. 小明所在學(xué)習(xí)小組認(rèn)為此法可行，于是他們應(yīng)用“線段中點(diǎn)”的結(jié)論很快做出了符合要求的專用繩，請(qǐng)你嘗試著“復(fù)原”他們的做法：

①在圖中標(biāo)出點(diǎn)、點(diǎn)的位置，并簡述畫圖方法；

②請(qǐng)說明①題中所標(biāo)示點(diǎn)的理由.

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