Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線CD交x軸、y軸于點(diǎn)C、D，點(diǎn)B在x軸上，且點(diǎn)B、C到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的比為1：3，點(diǎn)D在y軸上，且AD的長(zhǎng)為7，若tan∠OCD=3，sin∠ABO=

2

5

，
（1）求A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)E在直線CD上，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為-2，在直線y=

4

3

x+4上存在某點(diǎn)P使直線PE與y軸相交所成的銳角等于∠ABO，求出點(diǎn)P坐標(biāo)及直線PE的解析式．
（3）半徑為

8

5

的⊙M從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)；半徑為

2

5

5

的⊙N從原點(diǎn)出發(fā)，沿y軸正方向運(yùn)動(dòng)，如果⊙M、⊙N同時(shí)出發(fā) 且速度相同，當(dāng)⊙M與直線y=

4

3

x+4相切時(shí)，試判斷⊙N與②中所求的直線的位置關(guān)系；并說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）設(shè)OB=x，根據(jù)比例求出OC，再根據(jù)tan∠OCD=3表示出OD，根據(jù)∠ABO的正弦求出正切值，再求出OA，然后表示出AD，列方程求出x，再結(jié)合圖形寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)即可；
（2）先求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線CD的解析式，然后求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于F，再分點(diǎn)P在EF的上方和下方兩種情況求出直線EP與y軸的交點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，然后聯(lián)立兩直線解析式求出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
（3）求出直線y=

4

3

x+4與x軸所成角的正弦，再根據(jù)直線與圓相切求出CM的長(zhǎng)，然后求出OM，再根據(jù)⊙M、⊙N同時(shí)出發(fā) 且速度相同求出ON的長(zhǎng)度確定出點(diǎn)N的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)N到EP的距離，再根據(jù)圓與直線的位置關(guān)系解答．

解答：解：（1）設(shè)OB=x，
∵點(diǎn)B、C到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的比為1：3，
∴OC=3x，
∵tan∠OCD=3，
∴OD=3OC=3×3x=9x，
∵sin∠ABO=

2

5

，
∴tan∠ABO=2，
∴OA=2OB=2x，
∴AD=OD-OA=9x-2x=7，
解得x=1，
∴2x=2，3x=3，
點(diǎn)A（0，2），B（-1，0），C（-3，0）；

（2）∵OD=2+7=9，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，9），
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

-3k+b=0 b=9

，
解得

k=3 b=9

，
∴直線CD的解析式為y=3x+9，
x=-2時(shí)，y=3×（-2）+9=3，
∴點(diǎn)E（-2，3），
過(guò)點(diǎn)E作EF⊥y軸于F，則點(diǎn)F（0，3），
則EF=OA=2，
∵直線PE與y軸相交所成的銳角等于∠ABO，
∴①點(diǎn)P在EF的上方時(shí)，直線PE與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4），
此時(shí)，設(shè)直線PE的解析式為y=kx+b，
則

-2k+b=3 b=4

，
解得

k= 1 2 b=4

，
∴直線EP的解析式為y=

1

2

x+4，
此時(shí)，（0，4）在直線y=

4

3

x+4設(shè)，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，4），
②點(diǎn)P在EF的下方時(shí)，直線PE與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
此時(shí)，設(shè)直線PE的解析式為y=kx+b，
則

-2k+b=3 b=2

，
解得

k=- 1 2 b=2

，
∴直線EP的解析式為y=-

1

2

x+2，
聯(lián)立

y= 4 3 x+4 y=- 1 2 x+2

，
解得

x=- 12 11 y= 28 11

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

12

11

，

28

11

）；

（3）令x=0，則y=

4

3

×0+4=4，
由勾股定理得，

32+42

=5，
∴直線y=

4

3

x+4與x軸所成角的正弦為

4

5

，
∵⊙M與直線y=

4

3

x+4相切，
∴CM=

8

5

÷

4

5

=2，
∴CM=3-2=1，
∵⊙M、⊙N同時(shí)出發(fā) 且速度相同，
∴ON=1，
∴點(diǎn)N到直線EP的解析式為y=-

1

2

x+2的距離為：（2-1）×

2

5

=

2 5

5

，
與⊙N相切，
點(diǎn)N到直線EP的解析式為y=

1

2

x+4的距離為：（4-1）×

2

5

=

6 5

5

＞

2 5

5

，
與⊙N相離．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了銳角三角三角函數(shù)，勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及直線與圓的位置關(guān)系的判定，（2）難點(diǎn)在于要根據(jù)點(diǎn)P的位置分情況討論，（3）根據(jù)直線與圓相切求出OM，從而得到ON的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．