Question

【題目】給出如下規(guī)定：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy中的圖形M，N，給出如下定義：P為圖形M上任意一點(diǎn)，Q為N上任一點(diǎn)，如果P，Q兩點(diǎn)間的距離存在最小值時(shí)，就稱該最小值為兩個(gè)圖形M和N之間的“閉距離”；如果P，Q兩點(diǎn)間的距離存在最大值時(shí)，就稱該最大值為兩個(gè)圖形M和N之間的“開(kāi)距離”．

請(qǐng)你在學(xué)習(xí)，理解上述定義的基礎(chǔ)上，解決下面問(wèn)題：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣6，8），B（﹣6，﹣8），C（6，﹣8），D（6，8）．

（1）請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫出四邊形ABCD，線段AB和線段CD的“閉距離”為　 　；“開(kāi)距離”為　 　；

（2）設(shè)直線y＝﹣x+b（b＞0）與x軸，y軸分別交于點(diǎn)E，F，若線段EF與四邊形ABCD的“閉距離”是2，求它們的“開(kāi)距離”；

（3）⊙M的圓心為M（m，﹣6），半徑為1，若⊙M與△ABC的“閉距離”等于1，直接寫出m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）12，20；（2）2或2或2；（3）當(dāng)m＝﹣8或6+或﹣4≤m≤6﹣3時(shí)，⊙M與△ABC的“閉距離”等于1．

【解析】

（1）由點(diǎn)的坐標(biāo)畫出圖形，由“閉距離”和“開(kāi)距離”的定義可求解；

（2）分四種情況討論，求出點(diǎn)E，點(diǎn)F坐標(biāo)，即可解；

（3）分點(diǎn)M在y軸左側(cè)和右側(cè)討論，找到特殊點(diǎn)，即可求解．

解：（1）如圖所示：

∴線段AB和線段CD的“閉距離”為12，“開(kāi)距離”＝，

故答案為：12，20；

（2）∵線段EF與四邊形ABCD的“閉距離”是2，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（4，0）或點(diǎn)E（8，0）或點(diǎn)F（0，6）或點(diǎn)F（0，10）

當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為（4，0）時(shí)，

∴0＝﹣×4+b，

∴b＝3，

∴點(diǎn)F（0，3），

∴線段EF與四邊形ABCD的“開(kāi)距離”＝，

當(dāng)點(diǎn)E坐標(biāo)為（8，0）時(shí)，

∴0＝﹣×8+b，

∴b＝6，

∴點(diǎn)F（0，6），

∴線段EF與四邊形ABCD的“開(kāi)距離”＝，

當(dāng)點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，6）時(shí)，

∴b＝6，

∴y＝﹣x+6，

∴點(diǎn)E（8，0），

∴線段EF與四邊形ABCD的“開(kāi)距離”＝，

當(dāng)點(diǎn)F坐標(biāo)為（0，10）時(shí)，

∴b＝10，

∴y＝﹣x+10，

∴點(diǎn)E（，0）

∴線段EF與四邊形ABCD的“開(kāi)距離”＝，

（3）如圖，設(shè)直線y＝﹣6與AB交于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)E，

∵M（m，﹣6），半徑為1，

∴當(dāng)點(diǎn)M在y軸左側(cè)時(shí)，MN＝2時(shí)，⊙M與△ABC的“閉距離”等于1，

∴m＝﹣8或﹣4，

當(dāng)點(diǎn)M在y軸右側(cè)時(shí)，ME＝2時(shí)，⊙M與△ABC的“閉距離”等于1，

∴m＝6+或6﹣3，

∴當(dāng)m＝﹣8或6+或﹣4≤m≤6﹣3時(shí)，⊙M與△ABC的“閉距離”等于1．