Question

5．如圖，四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，△ABC是等邊三角形．線段CD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE，連接AE．
（1）求證：AE=BD；
（2）若∠ADC=30°，AD=3，BD=4$\sqrt{2}$．求CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AC=BC、∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD、CE=CD證△ACE≌△BCD即可；
（2）連接DE，可得△DCE是等邊三角形，即∠CDE=60°、DC=DE，繼而在RT△ADE中，由勾股定理可得DE的長，即可知CD．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC，∠ACB=60°．
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：
CE=CD，∠DCE=60°．
∴∠DCE+∠ACD=∠ACB+∠ACD，
即∠ACE=∠BCD．
在△ACE≌△BCD中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACE=∠BCD}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD．
∴AE=BD．

（2）連接DE．

∵CD=CE，∠DCE=60°，
∴△DCE是等邊三角形．
∴∠CDE=60°，DC=DE．
∵∠ADC=30°，
∴∠ADC+∠CDE=90°．
∵AD=3，BD=4$\sqrt{2}$，
∴AE=BD=4$\sqrt{2}$．
在Rt△ADE中，由勾股定理，
可得DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{23}$．
∴DC=DE=$\sqrt{23}$．

點(diǎn)評 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用，連接DE發(fā)現(xiàn)等邊三角形與直角三角形是解題的關(guān)鍵．