Question

18．如圖，點(diǎn)P是直線y=$\frac{1}{2}$x+1上動點(diǎn)，點(diǎn)Q（0，m）是y軸負(fù)半軸上定點(diǎn)，連接PQ，當(dāng)PQ的長度最小時，∠PQO的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 和m的取值有關(guān)

Answer 1

分析 根據(jù)垂線段最短作點(diǎn)Q到直線y=$\frac{1}{2}$x+1的垂線，利用等角的三角函數(shù)值相等，求∠ABO的正弦值即可．

解答 解：設(shè)直線y=$\frac{1}{2}$x+1與x軸、y軸的交點(diǎn)分別是B、A，
過Q作QP⊥BA于P，這時PQ的長最小，
當(dāng)x=0時，y=1，則A（0，1），
當(dāng)y=0時，x=-2，則B（-2，0），
∴OA=1，OB=2，
由勾股定理得：AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠PAQ+∠PQO=90°，∠PAQ+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠PQO，
∴sin∠PQO=sin∠ABO=$\frac{AO}{AB}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的定義及一次函數(shù)與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，在一次函數(shù)中常求直線與兩坐標(biāo)的交點(diǎn)：①與x軸交點(diǎn)?令y=0；②與y軸交點(diǎn)?令x=0；還要熟練掌握三角函數(shù)的定義，知道同角或等角的三角函數(shù)值相等．