Question

平面內(nèi)兩條直線l₁∥l₂，它們之間的距離等于a．一塊正方形紙板ABCD的邊長也等于a．現(xiàn)將這塊硬紙板如圖所示放在兩條平行線上．
（1）如圖1，將點C放置在直線l₂上，且AC⊥l₁于O，使得直線l₁與AB、AD相交于E、F，證明：△AEF的周長等于2a；
請你繼續(xù)完成下面的探索：
（2）如圖2，若繞點C轉(zhuǎn)動正方形硬紙板ABCD，使得直線l₁與AB、AD相交于E、F，試問△AEF的周長等于2a還成立嗎？并證明你的結(jié)論；
（3）如圖3，將正方形硬紙片ABCD任意放置，使得直線l₁與AB、AD相交于E、F，直線l₂與BC、CD相交于G，H，設(shè)△AEF的周長為m₁，△CGH的周長為m₂，試問m₁，m₂和a之間存在著什么關(guān)系？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）證明：連接EC，F(xiàn)C．
∵AC⊥l₁，
∴∠B=∠COE=90°．
在Rt△BCE和Rt△OCE中
又∵BC=CO=a，EC=EC，
∴△BCE≌△OCE（HL）．
∴BE=EO．同理OF=FD．
∴AE+AF+EF=AB+AD=2a．

（2）如圖4，過C作CM⊥EF于M，
則∠B=∠EMC=90°．
在Rt△BCE和Rt△MCE中，
∵BC=CM=a，EC=EC，
∴△BCE≌△MCE（HL），
同理△CMF≌△CDF
得BE=ME，MF=DF．
∴AE+AF+EF=AB+AD=2a．

（3）m₁+m₂=2a
證明：如圖5將l₁，l₂分別同時向下平移相同的距離，則l₄和l₃的距離還是a，使得l₄經(jīng)過點C，l₃交AB于M，交AD于N
由（2）的證明知AM+MN+AN=2a，
過F作FK∥AB交MN于K．
∴四邊形EMKF為平行四邊形．
∴EF=MK，F(xiàn)K=EM，
∵作FQ⊥MN于Q，CP⊥GH于P．則FQ=CP．
∵FK∥AB，
∴∠FKQ=∠AMN．
作BJ∥MN，
∴∠AMN=∠ABJ．
∵∠ABJ+∠CBJ=90°，∠CBJ=∠BGT=∠CGP，∠CGP+∠GHC=90°．
∴∠FKQ=∠GHC．
∴△FQK≌△CPH
∴FK=CH，KQ=PH．
同理FN=GC，NQ=GP．
∴KN=GH．則AE+AF+EF+GC+CH+GH，
=AE+EM+AF+FN+MK+KN，
=AM+AN+MN，
=2a．
分析：（1）首先連接EC，F(xiàn)C，根據(jù)△BCE≌△OCE，得出BE=EO以及OF=FD，進而得出AE+AF+EF=AB+AD的值；
（2）證明△BCE≌△MCE進而得出△CMF≌△CDF，得BE=ME，MF=DF，從而得出AE+AF+EF=AB+AD=2a；
（3）根據(jù)（2）中結(jié)論，以及平行四邊形的性質(zhì)得出FN=GC，NQ=GP，進而得出KN=GH，從從而求出AE+AF+EF+GC+CH+GH的值．
點評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及三角形全等的判定和平行線的性質(zhì)等知識，利用三角形全等轉(zhuǎn)化線段之間的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．