Question

我們給出如下定義：如圖①，平面內(nèi)兩條直線l₁、l₂相交于點(diǎn)O，對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)M，若p、q分別是點(diǎn)M到直線l₁和l₂的距離（P≥0，q≥0），稱有序非負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)[p，q]是點(diǎn)M的距離坐標(biāo)．
根據(jù)上述定義，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：
如圖②，平面直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，直線l₁的關(guān)系式為y=x，直線l₂的關(guān)系式為y=

1

2

x，M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)．
（1）若p=q=0，求距離坐標(biāo)為[0，0]時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）若q=0，且p+q=m（m＞0），利用圖②，在第一象限內(nèi)，求距離坐標(biāo)為[p，q]時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若p=1，q=

1

2

，則坐標(biāo)平面內(nèi)距離坐標(biāo)為[p，q]時(shí)，點(diǎn)M可以有幾個(gè)位置？并用三角尺在圖③畫出符合條件的點(diǎn)M（簡(jiǎn)要說(shuō)明畫法）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得此時(shí)M在兩直線的交點(diǎn)位置．
（2）由題意可得此時(shí)點(diǎn)M在直線l₂上，根據(jù)l₂的解析式設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)k的幾何意義可得出M點(diǎn)坐標(biāo)．
（3）運(yùn)用平行線的知識(shí)進(jìn)行此問(wèn)的解答．

解答：解：（1）∵p=q=0
∴點(diǎn)M是l₁和l₂的交點(diǎn)，故M（0，0）

（2）∵q=0
∴點(diǎn)M在l₂上，
如圖②，在第一象限內(nèi)取點(diǎn)M(a，

1

2

a)，過(guò)點(diǎn)M作MA⊥l₁交l₁于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作BC∥y軸交l₁、x軸于點(diǎn)B、C
則OC=BC
∵q=0，p+q=m（m＞0）
∴p＞0，
即MA=m，
∵∠B=45°，
∴BM=

2

AM=

2

m，BC=BM+MC=

2

m+

1

2

a
由OC=BC得a=

2

m+

1

2

a，解得a=2

2

m，
則M(2

2

m，

2

m)

（3）點(diǎn)M有4個(gè)
畫法：
①分別過(guò)點(diǎn)(0，

2

)、(0，-

2

)作與直線l₁平行的直線EF、E₁F₁（與l₁距離為1）
②分別過(guò)點(diǎn)(0，

5

4

)、(0，-

5

4

)作與直線l₂平行的直線GH、G₁H₁（與l₂距離為

1

2

）
③直線EF、E₁F₁、GH、G₁H₁的4個(gè)交點(diǎn)M₁、M₂、M₃、M₄就是符合條件的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，同學(xué)們要注意細(xì)心地進(jìn)行題干的分析，然后根據(jù)題意解答．