Question

如圖，拋物線y=

1

3

x²-

2

3

x-1與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．在x軸下方的拋物線上是否存在點D，使四邊形ABDC的面積為3？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：如圖，作輔助線；分別用α、β、γ來表示△AOC、梯形OCDE、△BDE的面積；根據(jù)面積公式列出關(guān)于m的方程，解該方程，即可解決問題．

解答：解：不存在；理由如下：
如圖，連接AC、CD、BD；過D作DE⊥x軸；
設(shè)D點坐標(biāo)為（m，n），則DE=-n，OE=m；
設(shè)△AOC、梯形OCDE、△BDE的面積為α、β、γ；
當(dāng)x=0，y=-1；當(dāng)y=0時，

1

3

x²-

2

3

x-1=0，
解得：x=-1或3，
∴OA=1，OC=1，OB=3，BE=3-m．
∵α=

1

2

×1×1=

1

2

，β=

1

2

(1+DE)•m，γ=

1

2

(3-m)•DE，
∴α+β+γ=

m+1

2

+

3DE

2

，而四邊形ABDC的面積為3，
∴

m+1

2

+

3DE

2

=3，將DE=-n=-

1

3

m2+

2

3

m+1代入該式，
解關(guān)于m的方程得：m=4或-1，
∵點D在x軸下方的拋物線上，
∴m=-1或4均不合題意，
∴不存在這樣的點D．

點評：該題主要考查了拋物線與x軸的交點及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，將四邊形的面積問題轉(zhuǎn)化為三角形的面積問題，借助面積公式來列方程或不等式；運用方程或不等式的知識來分析、判斷、推理或解答．