Question

【題目】正方形ABCD中，E、F分別在AD、DC上，∠ABE=∠CBF=15°，G是AD上另一點，且∠BGD=120°，連接EF、BG、FG、EF、BG交于點H，則下面結論：①DE=DF；②△BEF是等邊三角形；③∠BGF=45°；④BG=EG+FG中，正確的是（請?zhí)罘�號�?

Answer 1

【答案】①②④
【解析】證明：連接BD，在BG上取一點M，使得GM=GF． ∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB=AD=CD，∠ABC=∠A=∠C=90°，∠ABD=∠CBD=45°，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF，
∴BE=BF，AE=CF，
∴DE=DF，故①正確，
∵∠ABE=∠CBF=15°，
∠EBF=60°，
∴△EBF是等邊三角形，故②正確，
∵∠BGD=120°，
∴∠EGH=∠HFB=60°，
∵∠EHG=∠BHF，
∴△EHG∽△BHF，
∴ = ，
∴ = ，∵∠EHB=∠GHF，
∴△EHB∽△GHF，
∴∠BEH=∠BGF=60°，故③錯誤，
∵GM=GF，
∴△GMF是等邊三角形，
∴FM=FG，∠MFG=∠BFE=60°，
∴∠BFM=∠EFG，∵BF=FE，
∴△BFM≌△EFG，
∴BM=EG，
∴GB=GM+BM=GF+EG，故④正確．
所以答案是①②④．

【考點精析】本題主要考查了正方形的性質的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．