Question

6．如圖1，A、B分別為x、y軸上的點，O為坐標原點，設(shè)OA=a，OB=b，AB=c，
（1）若正數(shù)a、b、c滿足a²+b²+c²-6a-8b-10c+50=0，且OP⊥AB于P，求OP的長；
（2）如圖2，若P為線段AB的中點，試探究線段OP與AB間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）如圖3，若P是線段AB上一動點（不與A、B點重合），在射線OP上取一點E，使AE=a，此時∠AOE=∠AEO．在第一象限內(nèi)，過E作AE的垂線，并截取ED=b，連AD、BD，BD交射線OP于F點．當P點運動時，$\frac{BF}{FD}$的值不變，請說明理由，并求這個不變的值．

Answer 1

分析 （1）對等式進行整理從而求得三邊的長，可發(fā)現(xiàn)其符合勾股定理的逆定理，即其是直角三角形，進一步利用三角形的面積求得三角形最長邊上的高（斜邊上的高）．
（2）延長CD到E，使DE=CD，連接AE、BE，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形AEBC是平行四邊形，再根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得四邊形AEBC是矩形，然后根據(jù)矩形的對角線互相平分且相等可得OP=$\frac{1}{2}$AB．
（3）如圖3，過B作BM⊥OF于M，過D作DN⊥OF交OF延長線于N，構(gòu)建全等三角形：△MOB≌△NED、△MFB≌△NFD，結(jié)合全等三角形的對應邊相等推知BF=FD即可．

解答 解：（1）如圖1，∵a²+b²+c²-6a-8b-10c+50=0，
∴（a-3）²+（b-4）²+（c-5）²=0，
∴a=3；b=4；c=5，
∴$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$c•OP，
∴OP=$\frac{12}{5}$；

（2）OP=$\frac{1}{2}$AB，理由如下：
如圖2，延長OP到E點，使PE=OP，連BE、AE，
∵OP是斜邊AB上的中線，
∴AP=BP，
∴四邊形OAEB是平行四邊形，
∵∠AOB=90°，
∴四邊形OAEB是矩形，
∴AP=BP=OP=PE，
∴OP=$\frac{1}{2}$AB；

（3）證明：如圖3，過B作BM⊥OF于M，過D作DN⊥OF交OF延長線于N，
∵∠AOE=∠AEO，∠AOE+∠BOM=∠AEO+∠DEN=90°
∴∠BOM=∠DEN，
在△MOB與△NED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BMO=∠NDE=90°}\\{∠BOM=∠DEN}\\{OB=ED}\end{array}\right.$，
可證△MOB≌△NED（AAS），
∴BM=DN，
同理可證△MFB≌△NFD，
∴BF=FD，
∴$\frac{BF}{FD}$=1．

點評 此題考查了三角形綜合題，解題時運用了因式分解的應用，利用配方法構(gòu)造完全平方公式、非負數(shù)的性質(zhì)和勾股定理逆定理、三角形的面積結(jié)合起來，通過作輔助線構(gòu)建矩形，全等三角形是解題的難點．同時考查處理綜合問題的能力，難度較大．