Question

13．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線C→A→B向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC邊向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts（0＜t＜8）．
（1）AB=10cm，sinB=$\frac{3}{5}$；
（2）當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，求t的值；
（3）若四邊形CDEF是以CD、DE為一組鄰邊的平行四邊形，
①設(shè)?CDEF的面積為Scm²，求S于t的函數(shù)關(guān)系式；
②是否存在某個(gè)時(shí)刻t，使?CDEF為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用勾股定理和三角函數(shù)計(jì)算；
（2）當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，∠B不可能為直角，所以分兩種情況討論：i）圖1，當(dāng)∠BED=90°時(shí)；ii）圖2，當(dāng)∠EDB=90°時(shí)；利用相似求邊，再利用同角三角函數(shù)值列等式計(jì)算求出t的值；
（3）①根據(jù)點(diǎn)D的位置分兩種情況討論：點(diǎn)D在邊AC上時(shí)，0＜t≤3；點(diǎn)D在邊AB上時(shí)，3＜t＜8；?CDEF的面積都等于△CDE面積的二倍；
②當(dāng)?CDEF為菱形，對(duì)角線CE和DF互相垂直且平分，利用BH=BE+EH列式計(jì)算．

解答 解：（1）由勾股定理得：AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
sinB=$\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$，
故答案為：10，$\frac{3}{5}$；
（2）如圖1，當(dāng)∠BED=90°時(shí)，△BDE是直角三角形，
則BE=t，AC+AD=2t，
∴BD=6+10-2t=16-2t，
∵∠BED=∠C=90°，
∴DE∥AC，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{DE}{AC}$，
∴$\frac{t}{8}=\frac{DE}{6}$，
∴DE=$\frac{3t}{4}$，
∵sinB=$\frac{DE}{BD}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{\frac{3t}{4}}{16-2t}$=$\frac{3}{5}$，
t=$\frac{64}{13}$；
如圖2，當(dāng)∠EDB=90°時(shí)，△BDE是直角三角形，
則BE=t，BD=16-2t，
cosB=$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{AB}$=$\frac{8}{10}$，
∴$\frac{16-2t}{t}$=$\frac{8}{10}$，
∴t=$\frac{40}{7}$；
答：當(dāng)△BDE是直角三角形時(shí)，t的值為$\frac{64}{13}$或$\frac{40}{7}$；
（3）①如圖3，當(dāng)0＜t≤3時(shí)，BE=t，CD=2t，CE=8-t，
∴S_?CDEF=2S_△CDE=2×$\frac{1}{2}$×2t×（8-t）=-2t²+16t，
如圖4，當(dāng)3＜t＜8時(shí)，BE=t，CE=8-t，
過D作DH⊥BC，垂足為H，
∴DH∥AC，
∴$\frac{DH}{AC}=\frac{BD}{AB}$，
∴$\frac{DH}{6}=\frac{16-2t}{10}$，
∴DH=$\frac{3（16-2t）}{5}$，
∴S_?CDEF=2S_△CDE=2×$\frac{1}{2}$×CE×DH=CE×DH=（8-t）•$\frac{3（16-2t）}{5}$=$\frac{6}{5}{t}^{2}-\frac{96}{5}t+\frac{384}{5}$；
∴S于t的函數(shù)關(guān)系式為：當(dāng)0＜t≤3時(shí)，S=-2t²+16t，
當(dāng)3＜t＜8時(shí)，S=$\frac{6}{5}{t}^{2}-\frac{96}{5}t+\frac{384}{5}$；
②存在，如圖5，當(dāng)?CDEF為菱形時(shí)，DH⊥CE，
由CD=DE得：CH=HE，
BH=$\frac{4（16-2t）}{5}$，BE=t，EH=$\frac{8-t}{2}$，
∴BH=BE+EH，
∴$\frac{4（16-2t）}{5}$=t+$\frac{8-t}{2}$，
∴t=$\frac{88}{21}$，
即當(dāng)t=$\frac{88}{21}$時(shí)，?CDEF為菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形和三角形的綜合問題，以兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)為背景，考查了平行四邊形、菱形、直角三角形的性質(zhì)，考查了利用平行線分線段成比例定理求邊長或表示邊長；難度適中，是一個(gè)不錯(cuò)的四邊形的綜合題．