Question

如圖，直線分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交x軸、y軸于C、D兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求△BCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由直線y=-x+8，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，即可求得點(diǎn)A與B的坐標(biāo)，即可得OA，OB，由勾股定理即可求得AB的長(zhǎng)，由CD是線段AB的垂直平分線，可求得AE與BE的長(zhǎng)，易證得△AOB∽△AEC，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得AC的長(zhǎng)，繼而求得點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）易證得△AOB∽△DEB，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得BD的長(zhǎng)，又由S_△BCD=BD•OC，即可求得△BCD的面積．
解答：解：（1）∵直線y=-x+8，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，
當(dāng)x=0時(shí)，y=8；當(dāng)y=0時(shí)，x=6．
∴OA=6，OB=8．
在Rt△AOB中，AB==10，
∵CD是線段AB的垂直平分線，
∴AE=BE=5．
∵∠OAB=∠CAE，∠AOB=∠AEC=90°，
∴△AOB∽△AEC，
∴，
即，
∴AC=．
∴OC=AC-OA=，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-，0）；

（2）∵∠ABO=∠DBE，∠AOB=∠BED=90°，
∴△AOB∽△DEB，
∴，
即，
∴BD=，
∴S_△BCD=BD•OC=××=．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、點(diǎn)與一次函數(shù)的性質(zhì)、勾股定理以及線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．