Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，且AB＝6.點(diǎn)C是⊙O上的一動(dòng)點(diǎn)，連接AC，BC，在AC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)D，使得∠CBD＝∠DAB，點(diǎn)G為DB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為BG的中點(diǎn)，連接AE交BC于點(diǎn)F.

(1)試判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

(2)當(dāng)∠CGB＝60°時(shí)，求的長(zhǎng)；

(3)當(dāng)AE∥CG時(shí)，連接GF，若AF＝4，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）直線BD與⊙O相切，詳見解析；（2）π；（3）8

【解析】

（1）根據(jù)圓周角定理，由AB是⊙O的直徑，可得∠DCB=∠ACB=90°，故有∠D+∠CBD=90°；再由∠CBD=∠DAB，可得∠D+∠DAB=90°，即∠ABD=90°，可得結(jié)論．

（2）因?yàn)辄c(diǎn)G是Rt△BCD斜邊BD的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得CG=BG=BD．又有∠CGB=60°，故△BCG是等邊三角形，求得∠DBC=60°，進(jìn)而得∠ABC=30°．根據(jù)圓周角定理有∠AOC=2∠ABC=60°，再由半徑r=AB=3代入弧長(zhǎng)公式即求得的長(zhǎng)．

（3）由AE∥CG和E為BG中點(diǎn)可證得點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，又因?yàn)?/span>CG=BG=BD，故FG⊥BC，進(jìn)而得AC∥FG，所以四邊形AFGC是平行四邊形，所以有BG=CG=AF=4，BD=2BG=8．

解：(1)直線BD與⊙O相切，理由如下：

∵AB是⊙O的直徑

∴∠BCD＝∠ACB＝90°，

∴∠D＋∠CBD＝90°，

∵∠CBD＝∠DAB，

∴∠D＋∠DAB＝90°，

∴∠ABD＝90°，

即BD⊥AB，

∴直線BD與⊙O相切

圖1

(2)如圖1，連接OC

∵∠BCD＝90°，點(diǎn)G為DB的中點(diǎn)

∴BG＝CG＝DG＝BD

∵∠CGB＝60°

∴△BCG是等邊三角形

∴∠DBC＝60°

∴∠ABC＝∠ABD－∠DBC＝30°

∴∠AOC＝2∠ABC＝60°

∵直徑AB＝6

∴半徑r＝3

∴的長(zhǎng)為

圖2

(3)如圖2，連接FG，∵點(diǎn)E是BG中點(diǎn)

∴BE＝EG

∵AE∥CG

∴

∴BF＝CF，即點(diǎn)F是BC中點(diǎn)

∵BG＝CG

∴FG⊥BC

∴∠CFG＝∠ACB＝90°

∴FG∥AC

∴四邊形AFGC是平行四邊形

∴CG＝AF＝4

∴BG＝CG＝4

∴BD＝2BG＝8