Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）的圖象交于一、三象限內(nèi)的A，B兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，m），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，-2），tan∠BOC=

2

5

．
（1）求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）在x軸上有一點(diǎn)E（O點(diǎn)除外），使得△BCE與△BCO的面積相等，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，求△ABD的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：代數(shù)幾何綜合題

分析：（1）作BH⊥x軸于H，利用正切的定義得tan∠BOH=

BH

OH

=

2

5

，可計(jì)算出OH=5，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，-2），
把B（-5，-2）代入y=

k

x

可計(jì)算k=10，所以反比例函數(shù)的解析式為y=

10

x

；在把A（2，m）代入y=

10

x

可確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5），然后利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的解析式；
（2）先確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），再根據(jù)三角形面積公式得到CE=OC=3，于是得到E點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0）或（3，0）；
（3）利用點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D得到D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），然后利用S_△ABD=S_△ACD+S△_CDB進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）作BH⊥x軸于H，如圖，
∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（n，-2），tan∠BOC=

2

5

，
∴BH=2，tan∠BOH=

BH

OH

=

2

5

，
∴OH=5，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-5，-2），
把B（-5，-2）代入y=

k

x

得k=-5×（-2）=10，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

10

x

；
把A（2，m）代入y=

10

x

得2m=10，解得m=5，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5），
把A（2，5）和B（-5，-2）代入y=ax+b得

2a+b=5 -5a+b=-2

，解得

a=1 b=3

，
∴一次函數(shù)的解析式為y=x+3；
（2）把y=0代入y=x+3得x+3=0，解得x=-3，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），
∵△BCE與△BCO的面積相等，
∴CE=OC=3，
∴E點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0）或（3，0）；
（3）∵點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∴S_△ABD=S_△ACD+S△_CDB=

1

2

×（3+3）×5+

1

2

×（3+3）×2=21．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．