Question

【題目】如圖，PA與⊙O相切于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥OP，垂足為C，交⊙O于點(diǎn)B．連接PB，AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)D，與PB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E．

（1）求證：PB是⊙O的切線(xiàn)；

（2）若OC=6，AC=8，求sinE的值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）連接OB，先由等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)可得：OP是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，進(jìn)而可得：PA=PB，然后證明△PAO≌△PBO，進(jìn)而可得∠PBO=∠PAO=90°，PB是⊙O的切線(xiàn)；

（2）要求sinE，首先應(yīng)找出直角三角形，然后利用直角三角函數(shù)求解即可．而sinE既可放在中，也可放在中，所以利用相似三角形的性質(zhì)求出EP或EO的長(zhǎng)即可解決問(wèn)題

（1）證明：如圖，連接OB，

∵PO⊥AB，

∴AC=BC，則PO是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，

∴PA=PB，

在△PAO和△PBO中，

，

∴△PAO≌△PBO（SSS）

∴∠OBP=∠OAP，

∵PA是⊙O的切線(xiàn)，即PA⊥OA，

∴∠OAP=90°，

∴∠OBP=90°，即PB⊥OB，

∴PB是⊙O的切線(xiàn)；

（2）在Rt△ACO中，OC=6，AC=8，

∴AO=10，

如圖，連接BD，則∠ABD=90°，

∴BD∥PO，則BD=2OC=12，

在Rt△ACO與Rt△PAO中，

∠APO=∠APO，

∠PAO=∠ACO=90°，

∴△ACO△PAO，

∴，即

∴PO=，PA=，

∴PB=PA=，

∵BD∥PO，

∴△EPO∽△EBD，

∴，則，

∴，

解得：EB=，

∴PE=PB+EB=，

∴．