Question

12．如圖，將正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度α（0°＜α＜90°），得到四邊形AMEF，EM交線段DC于點G，EM的延長線交線段BC于點P，連接AP、AG．
（1）求證：△ADG≌△AMG；
（2）求∠PAG的度數(shù)；
（3）當∠1=∠2時，求∠α的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由旋轉(zhuǎn)得出AD=AM再用HL判斷出Rt△ADG≌Rt△AMG；
（2）先判斷出Rt△ABP≌Rt△AMP，從而得到∠PAG=∠MAP+∠MAG=45°．
（3）先判斷出∠AGD=∠PGC，從而判斷出∠AGD=∠AGM=∠PGC，得出結論．

解答 解：（1）證明：
∵將正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)角度α得到四邊形AMEF，
∴AD=AM，
在△RtADG和Rt△AMG中$\left\{\begin{array}{l}{AD=AM}\\{AG=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ADG≌Rt△AMG，
（2）在Rt△ABP和Rt△AMP中$\left\{\begin{array}{l}{AM=AB}\\{AP=AP}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABP≌Rt△AMP，
∴∠BAP=∠MAP，
由（1）知，∠DAG=∠MAG，
又∵∠DAB=∠BAP+∠MAP+∠DAG+∠MAG=90°，
∴∠PAG=∠MAP+∠MAG=45°，
（3）∵∠1=∠2，且△ADG和△PCG為直角三角形，
∴∠AGD=∠PGC，
由（1）知，△ADG≌△AMG，
∴∠AGD=∠AGM，
∴∠AGD=∠AGM=∠PGC，
又∵∠AGD+∠AGM+∠PGC=180°，
∴∠AGD=60°，
∴∠1=30°
∴∠DAM=60°，
∴∠MAB=30°
∴∠α=30°．

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解本題的關鍵是Rt△ADG≌Rt△AMG和Rt△ABP≌Rt△AMP．