Question

如圖，在△ABC和△DCE中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°，將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)（0°＜∠ACD＜180°），連結(jié)BD和AE：

（1）求證：△BCD≌△ACE；

（2）試確定線段BD和AE的數(shù)量關系和位置關系；

（3）連接AD和BE，在旋轉(zhuǎn)過程中，△ACD的面積記為S₁，△BCE的面積記為S₂，試判斷S₁和S₂的大小，并給予證明．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

【分析】（1）先求得∠BCD=∠ACE，然后根據(jù)SAS即可證得△BCD≌△ACE；

（2）由△BCD≌△ACE，得出BD=AE，∠DBC=∠EAC，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證得∠AOH=90°；

（3）作DM⊥AC于M，EN⊥BC于N，根據(jù)同角的余角相等得出∠MCD=∠NCE，然后根據(jù)AAS證得△DCM≌△ECN，得出DM=EN，然后根據(jù)三角形面積就可證得S₁=S₂．

【解答】（1）證明：∵∠ABC=∠DCE=90°，

∴∠ABC+∠ACD=∠DCE+∠ACD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD與△ACE中

∴△BCD≌△ACE（SAS）；

（2）解：如圖1，∵△BCD≌△ACE

∴BD=AE，∠DBC=∠EAC

∵∠AHO=∠BHC

∴∠AHO+∠EAC=∠BHC+∠DBC=90°

∴∠AOH=90°

∴BD⊥AE

（3）解：如圖2，作DM⊥AC于M，EN⊥BC于N，

∵∠MCD+∠DCN=90°，∠ECN+∠DCN=90°，

∴∠MCD=∠NCE，

在△DCM和△ECN中

∴△DCM≌△ECN（AAS），

∴DM=EN，

∵S₁=AC•DM，S₂=BC•EN，

∵AC=BC，

∴S₁=S₂．

【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形面積等，熟練掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)是解題的關鍵．