Question

8．如圖，已知直線l₁∥l₂，直線l₃和直線l₁，l₂交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線CD上．
（1）試寫出圖1中∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關(guān)系會(huì)發(fā)生變化嗎？
    答：不發(fā)生（填發(fā)生或不發(fā)生）
（3）若點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（P點(diǎn)與點(diǎn)C、D不重合），如圖2，圖3，試分別寫出∠PAC、∠APB、∠PBD之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，首先過(guò)點(diǎn)P作PE∥l₁，由l₁∥l₂，可得PE∥l₂∥l₁，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可求得：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）由（1）知，如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關(guān)系不發(fā)生變化；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，由直線l₁∥l₂，根據(jù)兩直線平行，同位角相等與三角形外角的性質(zhì)，即可求得：∠PBD=∠PAC+∠APB．

解答 解：（1）如圖①，當(dāng)P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB=∠PAC+∠PBD．
理由如下：
過(guò)點(diǎn)P作PE∥l₁，
∵l₁∥l₂，
∴PE∥l₂∥l₁，
∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，
∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

（2）由（1）知，如果P點(diǎn)在C、D之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB、∠PAC、∠PBD之間的關(guān)系不發(fā)生變化；

（3）如圖②，當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)，且在l₁上方時(shí)，∠PBD=∠PAC+∠APB．
理由如下：
∵l₁∥l₂，
∴∠PEC=∠PBD，
∵∠PEC=∠PAC+∠APB，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．
如圖③，當(dāng)點(diǎn)P在C、D兩點(diǎn)的外側(cè)運(yùn)動(dòng)，且在l₂下方時(shí)，∠PAC=∠PBD+∠APB．
理由如下：
∵l₁∥l₂，
∴∠PED=∠PAC，
∵∠PED=∠PBD+∠APB，
∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等與兩直線平行，同位角相等，注意輔助線的作法．