【題目】(操作發(fā)現(xiàn))三角形三個(gè)頂點(diǎn)與重心的連線段,將該三角形面積三等分.
(1)如圖①:中,中線、、相交于點(diǎn).求證:.
(提出問(wèn)題)如圖②,探究在四邊形中,是邊上任意一點(diǎn),與和的面積之間的關(guān)系.
(2)為了解決這個(gè)問(wèn)題,我們可以先從一些簡(jiǎn)單的、特殊的情形入手:
如圖③,當(dāng)時(shí),探求與和之間的關(guān)系,寫(xiě)出求解過(guò)程.
(問(wèn)題解決)
(3)推廣,當(dāng)(表示正整數(shù))時(shí),直接寫(xiě)出與和之間的關(guān)系:____________.
(4)一般地,當(dāng)時(shí),與和之間的關(guān)系式為:____________.
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2);(3);(4).
【解析】
(1)利用三角形的中線的性質(zhì),解決問(wèn)題即可.
(2)結(jié)論:.根據(jù)S△PBC=S四邊形ABCD-S△ABP-S△CDP=S四邊形ABCD-S△ABD-S△CDA=S四邊形ABCD-(S四邊形ABCD-S△DBC)-(S四邊形ABCD-S△ABC)化簡(jiǎn)計(jì)算即可.
(3)根據(jù),△ABP和△ABD的高相等,得到,根據(jù)△CDP和△CDA的高相等,得到,整理即可;
(4)與(3)的解答方法類(lèi)似,計(jì)算即可.
(1)證明:如圖①中,
∵BD=CD,
∵G是重心,
∴AG=2DG,
(2)結(jié)論:;
理由:如圖③中,
當(dāng)時(shí),
∵,和的高相等,
∴,
∵,和的高相等,
∴.
∴
.
(3)結(jié)論:;
理由:
∵,和的高相等,
∴.
又∵,和的高相等,
∴,
∴
.
∴.
故答案為:
(4)結(jié)論:.
理由是:
∵,和的高相等,
∴.
又∵,和的高相等,
∴,
∴
.
∴.
故答案為:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在一個(gè)不透明的盒子里裝有紅、黑兩種顏色的球共30只,這些球除顏色外其余完全相同,為了估計(jì)紅球和黑球的個(gè)數(shù),七(1)班的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組做了摸球?qū)嶒?yàn).他們將球攪勻后,從盒子里隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色,再把球放回盒子中,多次重復(fù)上述過(guò)程,得到下表中的一組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
模球的次數(shù) | 50 | 100 | 300 | 500 | 800 | 1000 | 2000 |
摸到紅球的次數(shù) | 14 | 33 | 95 | 155 | 241 | 298 | 602 |
摸到紅球的頻率 | 0.28 | 0.33 | 0.317 | 0.31 | 0.301 | 0.298 | 0.301 |
(1)請(qǐng)估計(jì):當(dāng)次數(shù)足夠大時(shí),摸到紅球的頻率將會(huì)接近______;(精確到0.1)
(2)假如你去摸一次,則估計(jì)摸到紅球的概率為______;
(3)試估算盒子里紅球的數(shù)量為______個(gè),黑球的數(shù)量為______個(gè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】松雷中學(xué)圖書(shū)館近日購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種圖書(shū),每本甲圖書(shū)的進(jìn)價(jià)比每本乙圖書(shū)的進(jìn)價(jià)高20元,花780元購(gòu)進(jìn)甲圖書(shū)的數(shù)量與花540元購(gòu)進(jìn)乙圖書(shū)的數(shù)量相同.
(1)求甲、乙兩種圖書(shū)每本的進(jìn)價(jià)分別是多少元?
(2)松雷中學(xué)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種圖書(shū)共70本,總購(gòu)書(shū)費(fèi)用不超過(guò)4000元,則最多購(gòu)進(jìn)甲種圖書(shū)多少本?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某賓館有單人間、雙人間和三人間三種客房供游客租住,某旅行團(tuán)有18人準(zhǔn)備同時(shí)租用這三種客房共9間,且每個(gè)房間都住滿,則租房方案共有______種.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:,平分,點(diǎn)在射線上,、分別是射線、上的動(dòng)點(diǎn)(、不與點(diǎn)重合),連接交射線于點(diǎn).設(shè).
(1)如圖1,若,則:①______;②當(dāng)時(shí),______.
(2)如圖2,若,垂足為,則是否存在這樣的的值,使得中存在兩個(gè)相等的角?若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀理解:對(duì)于一些次數(shù)較高或者是比較復(fù)雜的式子進(jìn)行因式分解時(shí),換元法是一種常用的方法,下面是某同學(xué)用換元法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過(guò)程.
解:設(shè)
原式(第一步)
(第二步)
(第三步)
(第四步)
回答下列問(wèn)題:
(1)該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的__________(填代號(hào)).
A.提取公因式 B.平方差公式
C.兩數(shù)和的完全平方公式 D.兩數(shù)差的完全平方公式
(2)按照“因式分解,必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止”的要求,該多項(xiàng)式分解因式的最后結(jié)果為______________.
(3)請(qǐng)你模仿以上方法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為12,E,F分別是邊AD,BC上的點(diǎn),將正方形紙片沿EF折疊,使得點(diǎn)A落在CD邊上的點(diǎn)A′處,此時(shí)點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處.已知折痕EF=13,則AE的長(zhǎng)等于_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有兩個(gè)不等實(shí)根x1、x2
(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍。
(2)若方程兩實(shí)根x1、x2滿足x1+x2=﹣x1x2,求k的值。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號(hào)里,π,﹣1,0,+6,﹣1.08,10%,0.303003…,﹣,0.;自然數(shù)集合:{_____……}正數(shù)集合:{_____……}非正整數(shù)集合:{_____……}分?jǐn)?shù)集合:{_____……}
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