Question

存在正整數(shù)a，能使得關(guān)于x的一元二次方程ax²+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一個整數(shù)根，則a=

 

．

Answer 1

考點：根的判別式,一元二次方程的定義

專題：計算題

分析：根據(jù)一元二次方程的定義得到a≠0，計算判別式得到△=4（8a+1），由于x的一元二次方程ax²+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一個整數(shù)根，則8a+1為完全平方數(shù)，而a為正整數(shù)，所以a=1、3、6、10，否則x=

-2(2a-1)±2 8a+1

2a

=-2+

1

a

±

8a+1

a

沒有整數(shù)．

解答：解：根據(jù)題意得a≠0，△=4（2a-1）²-4a•4（a-3）
=4（8a+1），
x=

-2(2a-1)±2 8a+1

2a

=-2+

1

a

±

8a+1

a

，
8a+1為完全平方數(shù)，而a為正整數(shù)，
當8a+1=9、25、49、81時，即a=1、3、6、10，關(guān)于x的一元二次方程ax²+2（2a-1）x+4（a-3）=0至少有一個整數(shù)根．
故答案為1，3，6，10．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．