Question

（2012•廣安）如圖，在平面直角坐標系xOy中，AB⊥x軸于點B，AB=3，tan∠AOB=

3

4

，將△OAB繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA₁B₁；再將△OA₁B₁繞著線段OB₁的中點旋轉(zhuǎn)180°，得到△OA₂B₁，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點B、B₁、A₂．
（1）求拋物線的解析式．
（2）在第三象限內(nèi)，拋物線上的點P在什么位置時，△PBB₁的面積最大？求出這時點P的坐標．
（3）在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點Q，使點Q到線段BB₁的距離為

2

2

？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定點B、B₁、A₂三點的坐標，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（2）求出△PBB₁的面積表達式，這是一個關(guān)于P點橫坐標的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出△PBB1面積的最大值；值得注意的是求△PBB₁面積的方法，如圖1所示；
（3）本問引用了（2）問中三角形面積表達式的結(jié)論，利用此表達式表示出△QBB₁的面積，然后解一元二次方程求得Q點的坐標．

解答：解：（1）∵AB⊥x軸，AB=3，tan∠AOB=

3

4

，∴OB=4，
∴B（-4，0），B₁（0，-4），A₂（3，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點B、B₁、A₂，
∴

16a-4b+c=0 c=-4 9a+3b+c=0

，
解得

a= 1 3 b= 1 3 c=-4

∴拋物線的解析式為：y=

1

3

x²+

1

3

x-4．

（2）點P是第三象限內(nèi)拋物線y=

1

3

x²+

1

3

x-4上的一點，
如答圖1，過點P作PC⊥x軸于點C．
設(shè)點P的坐標為（m，n），則m＜0，n＜0，n=

1

3

m²+

1

3

m-4．
于是PC=|n|=-n=-

1

3

m²-

1

3

m+4，OC=|m|=-m，BC=OB-OC=|-4|-|m|=4+m．
S_△PBB1=S_△PBC+S_梯形PB1OC-S_△OBB1
=

1

2

×BC×PC+

1

2

×（PC+OB₁）×OC-

1

2

×OB×OB₁
=

1

2

×（4+m）×（-

1

3

m²-

1

3

m+4）+

1

2

×[（-

1

3

m²-

1

3

m+4）+4]×（-m）-

1

2

×4×4
=-

2

3

m²-

8

3

m=-

2

3

（m+2）²+

8

3

當m=-2時，△PBB₁的面積最大，這時，n=-

10

3

，即點P（-2，-

10

3

）．

（3）假設(shè)在第三象限的拋物線上存在點Q（x₀，y₀），使點Q到線段BB₁的距離為

2

2

．
如答圖2，過點Q作QD⊥BB₁于點D．
由（2）可知，此時△QBB₁的面積可以表示為：-

2

3

（x₀+2）²+

8

3

，
在Rt△OBB₁中，BB₁=

OB2+OB12

=4

2

∵S_△QBB1=

1

2

×BB₁×QD=

1

2

×4

2

×

2

2

=2，
∴-

2

3

（x₀+2）²+

8

3

=2，
解得x₀=-1或x₀=-3
當x₀=-1時，y₀=-4；當x₀=-3時，y₀=-2，
因此，在第三象限內(nèi)，拋物線上存在點Q，使點Q到線段BB₁的距離為

2

2

，這樣的點Q的坐標是（-1，-4）或（-3，-2）．

點評：本題綜合考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一元二次方程、旋轉(zhuǎn)與坐標變化、圖形面積求法、勾股定理等重要知識點．第（2）問起承上啟下的作用，是本題的難點與核心，其中的要點是坐標平面內(nèi)圖形面積的求解方法，這種方法是壓軸題中常見的一種解題方法，同學們需要認真掌握．