【題目】如圖,在平面直角坐標系中,等腰Rt△AOB的斜邊OB在x軸上,直線y=3x-4經(jīng)過等腰Rt△AOB的直角頂點A,交y軸于C點,雙曲線y=也經(jīng)過A點.
(1)求點A的坐標和k的值;
(2)若點P為x軸上一動點.在雙曲線上是否存在一點Q,使得△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)點A的坐標為(2,2),k=4;(2) 在雙曲線上存在一點Q(4,1),使得△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形.
【解析】
試題分析:(1)過點A分別作AM⊥y軸于M點,AN⊥x軸于N點,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可設(shè)點A的坐標為(a,a),因為點A在直線y=3x-4上,即把A點坐標代入解析式即可算出a的值,進而得到A點坐標,然后再利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式;
(2)如果過B作BQ⊥x軸交雙曲線于Q點,連接AQ,過A點作AP⊥AQ交x軸于P點.由ASA易證△AOP≌△ABQ,得出AP=AQ,那么△APQ是所求的等腰直角三角形.根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及函數(shù)圖象與點的坐標的關(guān)系得出結(jié)果.
試題解析:(1)過點A分別作AM⊥y軸于M點,AN⊥x軸于N點,
∵△AOB是等腰直角三角形,
∴AM=AN.
設(shè)點A的坐標為(a,a),
∵點A在直線y=3x-4上,
∴a=3a-4,
解得a=2,
則點A的坐標為(2,2),
∵雙曲線y=也經(jīng)過A點,
∴k=4;
(2)假設(shè)雙曲線上存在一點Q,使得△PAQ是等腰直角三角形.
過B作BQ⊥x軸交雙曲線于Q點,連接AQ,過A點作AP⊥AQ交x軸于P點,
則△APQ為所求作的等腰直角三角形.
理由:在△AOP與△ABQ中,
∵∠OAB-∠PAB=∠PAQ-∠PAB,
∴∠OAP=∠BAQ,
在△AOP和△ABQ中
,
∴△AOP≌△ABQ(ASA),
∴AP=AQ,
∴△APQ是所求的等腰直角三角形.
∵B(4,0),
∴Q(4,1),
經(jīng)檢驗,在雙曲線上存在一點Q(4,1),使得△PAQ是以點A為直角頂點的等腰三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如下圖, AB∥CD,點E,F分別為AB,CD上一點.
(1) 在AB,CD之間有一點M(點M不在線段EF上),連接ME,MF,試探究∠AEM,∠EMF,∠MFC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系. 請補全圖形,并在圖形下面寫出相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系,選其中一個進行證明.
(2)如下圖,在AB,CD之間有兩點M,N,連接ME,MN,NF,請選擇一個圖形寫出∠AEM,∠EMN,∠MNF,∠NFC 存在的數(shù)量關(guān)系(不需證明).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(10分)某商場用2500元購進了A、B兩種新型節(jié)能臺燈共50盞,這兩種臺燈的進價,標價如下表所示:
(1)這兩種臺燈各購進多少盞?
(2)若A型臺燈按標價的九折出售,B型臺燈按標價的八折出售,那么這批臺燈全部售完后,商場共獲利多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下三條線段為邊,能組成三角形的是( )
A.1cm、2cm、3cm
B.2cm、2cm、4cm
C.3cm、4cm、5 cm
D.4cm、8cm、2cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)所示,E為矩形ABCD的邊AD上一點,動點P、Q同時從點B出發(fā),點P沿折線BE-ED-DC運動到點C時停止,點Q沿BC運動到點C時停止,它們運動的速度都是1cm/秒.設(shè)P、Q同發(fā)t秒時,△BPQ的面積為ycm2.已知y與t的函數(shù)關(guān)系圖象如圖(2)(曲線OM為拋物線的一部分),則下列結(jié)論:
①AD=BE=5;
②cos∠ABE=;
③當0<t≤5時,y=t2;
④當t=秒時,△ABE∽△QBP;
其中正確的結(jié)論是 (填序號).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90°,AE交DC于F,BD分別交CE、AE于點G、H.試猜測線段AE和BD的位置和數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2017年我省糧食總產(chǎn)量695.2億斤,居歷史第二高位,695.2億用科學(xué)記數(shù)法表示為:
A. 695.2×108 B. 6.952×109 C. 6.952×1010 D. 6.952×1011
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