Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分別以OA、OC所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，D是邊CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與C、B重合），反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)D且與邊BA交于點(diǎn)E，連接DE．

（1）連接OE，若△EOA的面積為2，則k= ；

（2）連接CA、DE與CA是否平行？請(qǐng)說明理由；

（3）是否存在點(diǎn)D，使得點(diǎn)B關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)在OC上？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k=4．（2）平行，理由見解析；（3）滿足條件的點(diǎn)D存在，D的坐標(biāo)為D（0.96，5）．

【解析】

試題分析：（1）連接OE，根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，即可求出k的值；

（2）連接AC，設(shè)D（x，5），E（3，），則BD=3﹣x，BE=5﹣，得到，從而求出

DE∥AC．

（3）假設(shè)存在點(diǎn)D滿足條件．設(shè)D（x，5），E（3，），則CD=x，BD=3﹣x，BE=5﹣，AE=．作EF⊥OC，垂足為F，易得，△B′CD∽△EFB′，然后根據(jù)對(duì)稱性求出B′E、B′D的表達(dá)式，列出，即=，從而求出（5﹣）2+x2=（3﹣x）2，即可求出x值，從而得到D點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）連接OE，如，圖1，

∵Rt△AOE的面積為2，

∴k=2×2=4．

（2）連接AC，如圖1，設(shè)D（x，5），E（3，），則BD=3﹣x，BE=5﹣，

=，

∴

∴DE∥AC．

（3）假設(shè)存在點(diǎn)D滿足條件．設(shè)D（x，5），E（3，），則CD=x，

BD=3﹣x，BE=5﹣，AE=．

作EF⊥OC，垂足為F，如圖2，

易證△B′CD∽△EFB′，

∴，即=，

∴B′F=，

∴OB′=B′F+OF=B′F+AE=+=，

∴CB′=OC﹣OB′=5﹣，

在Rt△B′CD中，CB′=5﹣，CD=x，B′D=BD=3﹣x，

由勾股定理得，CB′2+CD2=B′D2，

（5﹣）2+x2=（3﹣x）2，

解這個(gè)方程得，x1=1.5（舍去），x2=0.96，

∴滿足條件的點(diǎn)D存在，D的坐標(biāo)為D（0.96，5）．