Question

23、（1）如圖①、圖②，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)M是邊BC上任意一點(diǎn)，N是BA上任意一點(diǎn)，且BN=CM，AM與CN相交于Q，先用量角器測(cè)量圖①、圖②中∠CQM的度數(shù)，并用圖②證明你的猜想．
猜想：∠CQM=

60

度．
證明：

（2）如圖3，若M是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，N是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，仍然滿足△ABC為等邊三角形，CM=CN，相交于Q，則（1）中猜想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）∠CQM為60度，由題不難得△ABM≌△CAN，由∠CQM為△AQM的外角，得∠CQM=∠QAC+∠QCA，因?yàn)椤螿CA=∠BAM，推出∠CQM=∠QAC+∠QCA=∠QAC+∠BAM=∠BAC=60°；
（2）猜想還成立，根據(jù)已知即可推出△BNC≌△CMQ，推出∠N=∠M，由∠CQM=∠N+∠NAQ，通過等量代換即可推出結(jié)論．

解答：解：（1）∠CQM為60度，
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠CAN=60°，
∵BN=CM，
∴AN=BM，
∴△ABM≌△CAN，
∴∠QCA=∠BAM，
∵∠CQM=∠QAC+∠QCA，
∴∠CQM=∠QAC+∠QCA=∠QAC+∠BAM=∠BAC=60°；

（2）成立，
理由：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠ACB=60°，
∵CM=CN，
∴△BNC≌△CMQ，
∴∠N=∠M，
∵∠CQM=∠N+∠NAQ，
∴∠CNM=∠M+∠MAB=∠ABC=60°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵在于求證相關(guān)三角形全等．