Question

4．如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，動點(diǎn)E、F同時從點(diǎn)B出發(fā)，其中點(diǎn)E從點(diǎn)B向點(diǎn)A以每秒1個單位的速度運(yùn)動，點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿B-C-A的路線向終點(diǎn)以每秒2個單位的速度運(yùn)動，以EF為邊向上（或向右）作等邊三角形EFG．AH是△ABC中BC邊上的高，兩點(diǎn)運(yùn)動時間為t秒，△EFG和△AHC有重合部分時，重合部分圖形的周長為L．
（1）用含t的代數(shù)式表示線段CF的長；
（2）求點(diǎn)G落在AC上時t的值；
（3）求L關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性質(zhì)得出BC=AB=6得出CF=BC-BF=6-2t即可；
（2）由菱形的性質(zhì)和已知條件得出△ABC是等邊三角形，得出∠ACB=60°，由等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)得出∠GEF=60°，GF=EF=BF•sin60°=$\sqrt{3}$t，證出∠GFC=90°，由三角函數(shù)求出CF=$\frac{GF}{tan60°}$=t，由BF+CF=BC得出方程，解方程即可；
（3）分三種情況：①當(dāng)$\frac{3}{2}$＜t≤2時，根據(jù)梯形的周長公式即可得出結(jié)果；②當(dāng)2＜t≤3時，由①的結(jié)果容易得出結(jié)論；③當(dāng)3＜t＜6時，由①的結(jié)果容易得出結(jié)論．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：BF=2t，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC=AB=6，
∴當(dāng)0≤t≤6時，CF=BC-BF=6-2t；
當(dāng)6＜t≤12時，CF=2t-6；

（2）點(diǎn)G落在線段AC上時，如圖1所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=60°，
∵△EFG是等邊三角形，
∴∠GFE=60°，GF=EF=BF•sin60°=$\sqrt{3}$t，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°-60°=30°，
∴∠GFB=90°，
∴∠GFC=90°，
∴CF=$\frac{GR}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{3}}$=t，
∵BF+CF=BC，
∴2t+t=6，
解得：t=2；

（3）當(dāng)$\frac{3}{2}$＜t≤2時，如圖2，L=2$\sqrt{3}$t+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（2t-3）=$\frac{10}{3}\sqrt{3}t$-2$\sqrt{3}$，
當(dāng)2＜t≤3時，如圖3所示：L=$\sqrt{3}$t+$\frac{1}{2}$（6-t）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$+[6-$\frac{1}{2}$（6-t）-2（6-2t）]+$\sqrt{3}$（6-2t）=$\frac{27-7\sqrt{3}}{6}t$+7$\sqrt{3}$-9，
當(dāng)3＜t＜6時，如圖4，L=$\sqrt{3}$（6-t）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$（6-t）+$\frac{1}{2}$（6-t）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{7\sqrt{3}+9}{6}t$+7$\sqrt{3}$+9．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、三角形面積的計算等知識；本題綜合性強(qiáng)，難度較大，特別是（3）中，需要進(jìn)行分類討論才能得出結(jié)果．