Question

18．（1）探究發(fā)現(xiàn)：
下面是一道例題及其解答過程，請補充完整：
如圖①在等邊△ABC內(nèi)部，有一點P，若∠APB=150°．求證：AP²+BP²=CP²
證明：將△APC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接PP′，則△APP′為等邊三角形
∴∠APP′=60°   PA=PP′PC=P′B
∵∠APB=150°∴∠BPP′=90°
∴P′P²+BP²=P′B²
     即PA²+PB²=PC²
（2）類比延伸：
如圖②在等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，內(nèi)部有一點P，若∠APB=135°，試判斷線段PA、PB、PC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
（3）聯(lián)想拓展：
如圖③在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，點P在直線AB上方，且∠APB=60°，滿足（kPA）²+PB²=PC²，請直接寫出k的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理直接寫出即可；
（2）將△APC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP′B，連接PP′，論證PP′=$\sqrt{2}$PA，再根據(jù)勾股定理代換即可；
（3）將△APC 繞A點順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△AP′B，連接PP′，過點A作AH⊥PP′，論證PP′=$\sqrt{3}$PA，再根據(jù)勾股定理代換即可．

解答 解：（1）PC=P′B 
P′P²+BP²=P′B²．
（2）關(guān)系式為：2PA²+PB²=PC²

證明如圖②：將△APC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△AP′B，連接PP′，
則△APP′為等腰直角三角形
∴∠APP′=45°PP′=$\sqrt{2}$PA，PC=P′B，
∵∠APB=135°
∴∠BPP′=90°
∴P′P²+BP²=P′B²，
∴2PA²+PB²=PC²

（3）k=$\sqrt{3}$．

證明：如圖③
將△APC 繞A點順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△AP′B，連接PP′，過點A作AH⊥PP′，
可得∠APP′=30°PP′=$\sqrt{3}$PA，PC=P′B，
∵∠APB=60°，
∴∠BPP′=90°，
∴P′P²+BP²=P′B²，
∴（$\sqrt{3}$PA）²+PB²=PC²
∵（kPA）²+PB²=PC²，
∴k=$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查幾何變換中的旋轉(zhuǎn)變換，熟悉旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，并通過旋轉(zhuǎn)構(gòu)造直角三角形運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．