正方形ABCD中,點(diǎn)O是對角線AC的中點(diǎn),P是對角線AC上一動點(diǎn),過點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F.如圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時,顯然有DF=CF.
(1)如圖2,若點(diǎn)P在線段AO上(不與點(diǎn)A、O重合),PE⊥PB且PE交CD于點(diǎn)E.
①求證:DF=EF;
②寫出線段PC、PA、CE之間的一個等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)若點(diǎn)P在線段OC上(不與點(diǎn)O、C重合),PE⊥PB且PE交直線CD于點(diǎn)E.請完成圖3并判斷(1)中的結(jié)論①、②是否分別成立?若不成立,寫出相應(yīng)的結(jié)論.(所寫結(jié)論均不必證明)
【答案】分析:(1)由正方形的性質(zhì)證得△BQP≌△PFE,從而得到DF=EF,由于△PCF和△PAG均為等腰直角三角形,故有PA=PG,PC=CF,易得PA=EF,進(jìn)而得到PC、PA、CE滿足關(guān)系為:PC=(CE+PA);
(2)同(1)證得DF=EF,三條線段的數(shù)量關(guān)系是PA-PC=CE.
解答:解:(1)如圖2,延長FP交AB于點(diǎn)Q,
①∵AC是正方形ABCD對角線,
∴∠QAP=∠APQ=45°,
∴AQ=PQ,
∵AB=QF,
∴BQ=PF,
∵PE⊥PB,
∴∠QPB+∠FPE=90°,
∵∠QBP+∠QPB=90°,
∴∠QBP=∠FPE,
∵∠BQP=∠PFE=90°,
∴△BQP≌△PFE,
∴QP=EF,
∵AQ=DF,
∴DF=EF;
②如圖2,過點(diǎn)P作PG⊥AD.
∵PF⊥CD,∠PCF=∠PAG=45°,
∴△PCF和△PAG均為等腰直角三角形,
∵四邊形DFPG為矩形,
∴PA=PG,PC=CF,
∵PG=DF,DF=EF,
∴PA=EF,
∴PC=CF=(CE+EF)=CE+EF=CE+PA,
即PC、PA、CE滿足關(guān)系為:PC=CE+PA;

(2)結(jié)論①仍成立;結(jié)論②不成立,此時②中三條線段的數(shù)量關(guān)系是PA-PC=CE.
如圖3:
①∵PB⊥PE,BC⊥CE,
∴B、P、C、E四點(diǎn)共圓,
∴∠PEC=∠PBC,
在△PBC和△PDC中有:BC=DC(已知),∠PCB=∠PCD=45°(已證),PC邊公共邊,
∴△PBC≌△PDC(SAS),
∴∠PBC=∠PDC,
∴∠PEC=∠PDC,
∵PF⊥DE,
∴DF=EF;
②同理:PA=PG=DF=EF,PC=CF,
∴PA=EF=(CE+CF)=CE+CF=CE+PC
即PC、PA、CE滿足關(guān)系為:PA-PC=CE.
點(diǎn)評:本題是一個動態(tài)幾何題,考查用正方形性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形相似的條件和性質(zhì)進(jìn)行有條理的思考和表達(dá)能力,還考查按要求畫圖能力.
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17、已知正方形ABCD中,點(diǎn)E在邊DC上,DE=2,EC=1(如圖所示)把線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)E落在直線BC上的點(diǎn)F處,則F、C兩點(diǎn)的距離為
1或5

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精英家教網(wǎng)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上,如果AE=4,EF=3,AF=5,那么正方形ABCD的面積等于
 

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如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,點(diǎn)O為AD上一動點(diǎn)(4<OA<8),以O(shè)為圓心精英家教網(wǎng),OA的長為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)M,連接OM,過點(diǎn)M作⊙O的切線交邊BC于N.
(1)求證:△ODM∽△MCN;
(2)設(shè)DM=x,求OA的長(用含x的代數(shù)式表示);
(3)在點(diǎn)O的運(yùn)動過程中,設(shè)△CMN的周長為P,試用含x的代數(shù)式表示P,你能發(fā)現(xiàn)怎樣的結(jié)論?

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如圖①,正方形ABCD中,點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(0,12),(8,6),點(diǎn)C在第一象限.動點(diǎn)P在正方形ABCD的邊上,從點(diǎn)A出發(fā)沿A→B→C→D勻速運(yùn)動,同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)(1,0)出發(fā),以相同速度沿x軸正方向運(yùn)動,當(dāng)P點(diǎn)到D點(diǎn)時,兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動,設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.
(1)正方形邊長
 
,頂點(diǎn)C的坐標(biāo)
 
;
(2)當(dāng)P點(diǎn)在邊AB上運(yùn)動時,△OPQ的面積S與運(yùn)動時間t(秒)的函數(shù)圖象是如圖②所示的拋物線的一部分,求點(diǎn)P,Q運(yùn)動速度;
(3)求在(2)中當(dāng)t為何值時,△OPQ的面積最大,并求此時P點(diǎn)的坐標(biāo);
(4)如果點(diǎn)P、Q保持原速度速度不變,當(dāng)點(diǎn)P沿A?B?C?D勻速運(yùn)動時,OP與PQ能否相等,若能,直接寫出所有符合條件的t的值.
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觀察本題的三個圖形,思考下列問題
(1)如圖1,正方形ABCD中,點(diǎn)M是CD上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)C作CN⊥BM于O,且交AD于N點(diǎn).求證:BM=CN;
(2)如圖2,等邊△ABC中,點(diǎn)M是CA上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)C作射線CN交AB于點(diǎn)N、交BM于點(diǎn)O,且使∠BOC=120°.
請你判斷此時BM與CN的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
(3)如圖3,正n邊形ABCDE…An中,點(diǎn)M是CD上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)C作射線CN交DE于點(diǎn)N、交BM于點(diǎn)O,且使BM=CN.設(shè)此時∠BOC的大小為y,請你寫出y與n之間的函數(shù)關(guān)系式.
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