Question

【題目】已知，如圖，點(diǎn)M在x軸上，以點(diǎn)M為圓心，2.5長為半徑的圓交y軸于A、B兩點(diǎn)，交x軸于C（x1，0）、D（x2，0）兩點(diǎn)，（x1＜x2），x1、x2是方程x（2x+1）=（x+2）2的兩根．

（1）求點(diǎn)C、D及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）若直線y=kx+b切⊙M于點(diǎn)A，交x軸于P，求PA的長；

（3）⊙M上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使點(diǎn)Q、A、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△AOC相似？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出過A、C、Q三點(diǎn)的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) C（﹣1，0），D（4，0），（1.5，0）；(2) ;(3) 過A、C、Q三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2．

【解析】解：（1）x（2x+1）=（x+2）2整理得，x2﹣3x﹣4=0，

解得x1=﹣1，x2=4，

∴點(diǎn)C、D的坐標(biāo)是C（﹣1，0），D（4，0），

=1.5，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)是（1.5，0），

故答案為：C（﹣1，0），D（4，0），（1.5，0）；

（2）如圖，連接AM，則AM=2.5，

在Rt△AOM中，AO==2，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），

∵PA與⊙M相切，

∴AM⊥PA，

∴∠MAO+∠PAO=90°，

又∵∠AMO+∠MAO，

∴∠AMO=∠PAO，

在△AOM與△POA中， ，

∴△AOM∽△POA，

∴,

即,

解得PA=；

（3）存在．

如圖，連接AC、AD，

∴∠CAD=90°，

在△ACO與△DCA中， ，

∴△ACO∽△DCA，

∴存在點(diǎn)Q，與點(diǎn)D重合時(shí)，點(diǎn)Q、A、C三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與△AOC相似，

此時(shí)，設(shè)過點(diǎn)A、C、Q的拋物線是y=ax2+bx+c，

則,

解得,

∴過A、C、Q三點(diǎn)的拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+2．