Question

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（0，3）．且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上第一象限內(nèi)的一個點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）連PO、PB，如果把△POB沿OB翻轉(zhuǎn)，所得四邊形POP′B恰為菱形，那么在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QAB與△POB相似？若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）若（2）中點(diǎn)Q存在，指出△QAB與△POB是否位似？若位似，請直接寫出其位似中心的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)已知，只需運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式；
（2）由四邊形POP′B為菱形可得PO=PB，從而有∠POB=∠PBO．由點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上可得QA=QB，從而有∠QAB=∠QBA．由△QAB與△POB相似可得∠PBO=∠QBA，從而可得點(diǎn)Q、P、B共線．由PO=PB可得點(diǎn)P在OB的垂直平分線上，從而可得x_P=$\frac{3}{2}$，代入拋物線即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，設(shè)直線PB的解析式為y=mx+n，運(yùn)用待定系數(shù)法就可求出直線PB的解析式．由拋物線的對稱軸方程可得到點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，代入直線PB的解析式，即可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（3）觀察圖象，易知△QAB與△POB位似，位似中心即為點(diǎn)B，由此可得到位似中心的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）在拋物線y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3；

（2）在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)Q，使△QAB與△POB相似，如圖所示．
∵四邊形POP′B為菱形，
∴PO=PB，
∴∠POB=∠PBO．
∵點(diǎn)Q在拋物線的對稱軸上，
∴QA=QB，
∴∠QAB=∠QBA．
由△QAB與△POB相似可得∠PBO=∠QBA，
∴點(diǎn)Q、P、B共線．
∵PO=PB，
∴點(diǎn)P在OB的垂直平分線上，
∴x_P=$\frac{3}{2}$，
此時y_P=-（$\frac{3}{2}$）²+2×$\frac{3}{2}$+3=$\frac{15}{4}$，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．
設(shè)直線PB的解析式為y=mx+n，
則有$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{\frac{3}{2}m+n=\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{2}}\\{n=\frac{15}{2}}\end{array}\right.$．
∴直線PB的解析式為y=-$\frac{5}{2}$x+$\frac{15}{2}$．
∵拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
∴x_Q=1，y_Q=-$\frac{5}{2}$×1+$\frac{15}{2}$=5，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，5）
根據(jù)對稱性點(diǎn)Q坐標(biāo)還可以為（1．-5）．
（3）△QAB與△POB位似，位似中心為點(diǎn)B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0）．

點(diǎn)評 本題主要考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求拋物線的解析式及直線的解析式、拋物線的對稱性、菱形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、圖形的位似等知識，證到點(diǎn)Q、P、B共線是解決第（2）小題的關(guān)鍵．