Question

3．如圖1，直角梯形ABCD中，BC=CD，AB∥CD，∠ABC=90°，點P為邊AD上一點，BC=PB．
（1）求證：∠CBP=2∠DCP；
（2）如圖2，若∠ABP的平分線交CP的延長線于點E，連接DE，求證：BE+DE=$\sqrt{2}$CE；
（3）在（2）的條件下，若AB=1，BC=2，請直接寫出線段CE的長為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 （1）取CP的中點F，連接BF，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出∠CBF=∠PBF=$\frac{1}{2}$∠CBP，BF⊥PC，根據(jù)同角的余角相等得出∠DCP=∠CBF，即可中點結(jié)論；
（2）過得C作CG⊥CE交EB的延長線于點G，連接BD，由BC=CD，∠BCD=90°，易證∠CBD=45°，由∠EBF=45°，證得△CEG是等腰直角三角形，得出EG=$\sqrt{2}$CE，CG=CE，然后根據(jù)SAS證得△CBD≌△CDE，得出BG=DE，即可證得DE+BE=$\sqrt{2}$CE；
（3）取CD的中點M，連接MF，設(shè)MF的延長線交直線AB與B′，通過證得四邊形AB′MD是平行四邊形，得出AB′=DM=1=AB，證得B′與B重合，即B、F、M在一條直線上，然后證得△BFC∽△BCM，對應(yīng)邊成比例得出EF=BF=2CF，進(jìn)一步得出CF=PF=PE，CE=3CF，根據(jù)三角形面積得出CF的值，即可求得CE的值．

解答 解：（1）取CP的中點F，連接BF，如圖1，
∵BC=BP，BF是底邊上的中點，
∴∠CBF=∠PBF=$\frac{1}{2}$∠CBP，BF⊥PC，
∴∠CBF+∠BCF=90°，
∵∠BCF+∠DCP=90°，
∴∠DCP=∠CBF，
∴∠CBP=2∠DCP；
（2）過得C作CG⊥CE交EB的延長線于點G，連接BD，如圖2，
∵BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠CBD=45°，
∵∠EBF=∠EBP+∠PBF=$\frac{1}{2}$∠ABP+$\frac{1}{2}$∠CBP=45°，
∴∠BEF=180°-∠EBF-∠BFE=45°，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴EG=$\sqrt{2}$CE，CG=CE，
∵∠ECG=90°=∠BCD，
∴∠BCG=∠DCE，
在△CBD和△CDE中
$\left\{\begin{array}{l}{CG=CE}\\{∠BCG=∠DCE}\\{BC=DC}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△CDE（SAS），
∴BG=DE，
∴DE+BE=BG+BE=EG=$\sqrt{2}$CE；
（3）CE=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，理由如下；
取CD的中點M，連接MF，設(shè)MF的延長線交直線AB與B′，如圖2，
∵F是PC的中點，
∴FM∥AD，
∵AB∥CD，
∴四邊形AB′MD是平行四邊形，
∴AB′=DM=1=AB，
∴B′與B重合，即B、F、M在一條直線上，
∴BM⊥CE，
∵∠CBF=∠MBC，
∴△BFC∽△BCM，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{CF}{CM}$，即$\frac{BF}{2}$=$\frac{CF}{1}$，
∴BF=2CF，
∵∠BEF=45°，∠BFE=90°，
∴EF=BF=2CF，
∵CF=PF，
∴CF=PF=PE，CE=3CF，
∵S_△BCM=$\frac{1}{2}$CF•BM=$\frac{1}{2}$BC•CM，
∴CF=$\frac{BC•CM}{BM}$=$\frac{2×1}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴CE=3CF=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$．
故答案為$\frac{6\sqrt{5}}{5}$

點評 本題是四邊形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)．三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)以及三角形面積等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．