Question

【題目】如圖1，已知中，，，，為斜邊上一個動點，作，交直角邊于點，以為直徑作，交于點，連接，交于點.連結(jié)，設.

（1）用含的代數(shù)式表示的長；

（2）求證：；

（3）如圖2，當與邊相切時，求的直徑；

（4）若以為頂點的三角形是等腰三角形時，求所有滿足條件的的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）；（4）或或．

【解析】

（1）利用,即可得出結(jié)論；

（2）利用同弧所對的圓周角相等得出，利用同角的余角相等得出，從而得出結(jié)論；

（3）作，，則，，利用得出，進而得出直徑；

（4）分、、三種情況討論即可．

（1）解：在中，由勾股定理得：，

∵，∴,

在和中

∵，

∴，

∴，即

解得：，

∴，，

（2）證明：∵

∴.

又∵.

∴.

解：（3）作，，垂足分別為，

∵與相切，∴，

∵，

∴，

∴ ∴

∴的直徑為；

（4）若以為頂點的三角形是等腰三角形，則可分為三種情況：

①當時，

∵，∴，∴，即

∵，∴，

在和中，

，

∴

∴，

∴

∴；

②當時，

∵為直徑，∴，即，

∵，，

∴,

∴，即，

∴，，

∴，

∵，∴，

∵四邊形內(nèi)接于，

∴，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，即，

解得：，

經(jīng)檢驗：是原方程的解，

∴；

③當時，

∵，∴，

∵四邊形內(nèi)接于，

∴，，即

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

綜上所述：當或或時，以為頂點的三角形是等腰三角形．