Question

如圖，在正方形ABCD中，E是CD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，∠EAF=∠DAE，則下列結(jié)論中正確的是

1. A.
   ∠EAF=∠FAB
2. B.
   BC=3FC
3. C.
   AF=AE+FC
4. D.
   AF=BC+FC

Answer 1

D
分析：把△ADE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠1=∠5，∠3=∠G，∠ADB=∠ABG，DE=BG，則∠GBF=180°，即G，B，F(xiàn)共線，再根據(jù)∠3=∠2+∠4，∠1=∠2，可得到∠G=∠5+∠4，則AF=GF；然后設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，BF=x，則AF=x+a，在Rt△ABF中，利用勾股定理得到x=a，則FC=a，AF=a，BC+FC=2a+a=a=AF，得到正確選項(xiàng)．
解答：解：把△ADE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ABG，如圖，
∴∠1=∠5，∠3=∠G，∠ADE=∠ABG，DE=BG，
∴∠GBF=180°，即G，B，F(xiàn)共線，
又∵∠3=∠2+∠4，∠1=∠2，
∴∠3=∠5+∠4，
∴∠G=∠5+∠4，
∴AF=GF；
設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2a，則DE=a，
設(shè)BF=x，則AF=x+a，在Rt△ABF中，（x+a）²=4a²+x²，
解得x=a，
則FC=a，AF=a，
∴BC+FC=2a+a=a=AF．
所以D選項(xiàng)正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，正方形的性質(zhì)以及勾股定理．