Question

已知：拋物線（a≠0）的頂點M的坐標為（1,－2）與y軸交于點C（0，），與x軸交于A、B兩點（A在B的左邊）.

（1）求此拋物線的表達式；

（2）點P是線段OB上一動點（不與點B重合），點Q在線段BM上移動且∠MPQ＝45°，設線段OP＝x，MQ＝₁，求y₁與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）①在（2）的條件下是否存在點P，使△PQB是PB為底的等腰三角形，若存在試求點Q的坐標，若不存在說明理由；

②在（1）中拋物線的對稱軸上是否存在點F，使△BMF是等腰三角形，若存在直接寫出所有滿足條件的點F的坐標.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（0≤x＜3）（3）①存在，Q的坐標為（2，1）②F₁（1，0），F₂（1，），F₃（1，），F₄（1，2）.

【解析】解：（1）∵拋物線的頂點為M（1，﹣2）可設，

由點（0，）得：

∴.

∴即.      ……………………3分

（2）在中由y＝0得

解得：，

∴A為（－1，0），B為（3，0）                 ……………………4分

∵M（1，－2）

∴∠MBO＝45°，MB＝

∴∠MPQ＝45°

∠MBO＝∠MPQ

又∵∠M＝∠M

∴△MPQ∽△MPB                             ……………………5分

∴

∴

即

∴（0≤x＜3）.  

…………………………7分（自變量取值范圍1分）

（3）①存在點Q，使QP＝QB，即△PQB是以PB為底的等腰三角形，作PB的垂直平分線交BM于Q，則QP＝QB.

∴∠QPB＝∠MBP＝45°

又∵∠MPQ＝45°，

∴此時MP⊥x軸

∴P為（1，0），     

∴PB＝2.

∴Q的坐標為（2，1）.                 …………………………9分

②F₁（1，0），F₂（1，），F₃（1，），F₄（1，2）.

………………………………11分

（1）設拋物線的表達式為y=a（x-1）²-2，將點C的坐標代入即可得出答案；

（2）先證明△MPQ∽△MPB，根據(jù)相似的性質(zhì)列等式，求y₁與x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）①假設存在滿足條件的P點，根據(jù)條件△PQB是PB為底的等腰三角形，作PB的垂直平分線交BM于Q，QP=QB．求出P點和Q點坐標；②根據(jù)△BMF是等腰三角形，只要點F使得該三角形的兩邊相等即可．