Question

【題目】已知直線與交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4,過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線于P,Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在第一象限),由點(diǎn)A,B,P,Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________.

Answer 1

【答案】或（8，1）

【解析】

作PM⊥y軸于M，PN⊥x軸于N，AH⊥x軸于H，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（a，b），先確定A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，2），再利用A點(diǎn)坐標(biāo)確定反比例函數(shù)解析式為y=，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可得到四邊形APBQ為平行四邊形，則根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到S△OPA=S平行四邊形APBQ=6，由于S矩形ONPM+S梯形AHNP=S△OPM+S△OPA+S△OAH，化簡反比例函數(shù)的比例系數(shù)的幾何意義和梯形的面積公式有8+（2+b）（4-a）=4+6+4，再把b=代入得（2+）（4-a）=12，解得a1=2，a2=-8（舍去），當(dāng)a=2，b==4，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．

作PM⊥y軸于M,PN⊥x軸于N,AH⊥x軸于H,如圖,

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b)

把x=4代入y=x得y=2,則A點(diǎn)坐標(biāo)為(4,2)，

把A(4,2)代入y=得k=4×2=8，

所以反比例函數(shù)解析式為y=，

∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)P與點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，

∴OA=OB，OP=OQ，

∴四邊形APBQ為平行四邊形，

∴S△OPA=S平行四邊形APBQ=×24=6，

∵S矩形ONPM+S梯形AHNP=S△OPM+S△OPA+S△OAH，

∴8+(2+b)(4a)=4+6+4，

∵b=，

∴(2+)(4a)=12，

整理得a2+6a16=0,解得a1=2,a2=8(舍去)，

當(dāng)a=2,b==4，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(2,4).

同理,當(dāng)四邊形BQPA是平行四邊形時,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(8,1).

故答案為(2,4)或(8,1).