【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,點(diǎn)E,F分別在邊BC,AC上,沿EF所在的直線折疊∠C,使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上,若△EFC和△ABC相似,則AD的長(zhǎng)為___.
【答案】
【解析】
△CEF與△ABC相似,分兩種情況:①若CF:CE=3:4,此時(shí)EF∥AB,CD為AB邊上的高;②若CE:CF=3:4,由相似三角形角之間的關(guān)系,可以推出∠B=∠ECD與∠A=∠FCD,從而得到CD=AD=BD,即D點(diǎn)為AB的中點(diǎn).
若△CEF與△ABC相似,分兩種情況:
①若CF:CE=3:4,
∵AC:BC=3:4,
∴CF:CE=AC:BC,
∴EF∥AB.
連接CD,如圖1所示:
由折疊性質(zhì)可知,CD⊥EF,
∴CD⊥AB,即此時(shí)CD為AB邊上的高。
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4,
∴AB= =5,
∴cosA=,
∴AD=ACcosA=3×;
②若CE:CF=3:4,
∵AC:BC=3:4,∠C=∠C,
∵△CEF∽△CAB,
∴∠CEF=∠A.
連接CD,如圖2所示:
由折疊性質(zhì)可知,∠CEF+∠ECD=90°,
又∵∠A+∠B=90°,
∴∠B=∠ECD,
∴BD=CD.
同理可得:∠A=∠FCD,AD=CD,
∴D點(diǎn)為AB的中點(diǎn),
∴AD=;
故答案為:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2+2(m-3) x+m2+1=0的兩個(gè)根.
(1)當(dāng)m取何值時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?
(2)若以x1,x2為對(duì)角線的菱形邊長(zhǎng)是,試求m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線和直線l:y=kx+b,點(diǎn)A(-3,-3),B(1,-1)均在直線l上.
(1)若拋物線C與直線l有交點(diǎn),求a的取值范圍;
(2)當(dāng)a=-1,二次函數(shù)的自變量x滿足m≤x≤m+2時(shí),函數(shù)y的最大值為-4,求m的值;
(3)若拋物線C與線段AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn),請(qǐng)直接寫(xiě)出a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的對(duì)稱軸為x=1,與y軸交于點(diǎn)C,與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B(﹣1,0),則
①二次函數(shù)的最大值為a+b+c;
②a﹣b+c<0;
③b2﹣4ac<0;
④當(dāng)y>0時(shí),﹣1<x<3,其中正確的個(gè)數(shù)是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】求解體驗(yàn):
(1)已知拋物線 y=﹣x2+bx﹣3 經(jīng)過(guò)點(diǎn)(﹣1,0),則 b= ,頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ,該拋物線關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對(duì)稱的拋物線表達(dá)式是 .
抽象感悟:
我們定義:對(duì)于拋物線 y=ax2+bx+c(a≠0),以 y 軸上的點(diǎn) M(0,m)為中心,作該拋物線關(guān)于點(diǎn) M 對(duì)稱的 拋物線 y′,則我們又稱拋物線 y′為拋物線 y 的“衍生拋物線”,點(diǎn) M 為“衍生中心”.
(2)已知拋物線 y=﹣x2﹣2x+5 關(guān)于點(diǎn)(0,m)的衍生拋物線為 y′,若這兩條拋物線有交點(diǎn),求 m 的取值范 圍.
問(wèn)題解決:
(3)已知拋物線 y=ax2+2ax﹣b(a≠0)
①若拋物線 y 的衍生拋物線為 y′=bx2﹣2bx+a2(b≠0),兩拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),且恰好是它們的頂點(diǎn),求 a、b 的值及衍生中心的坐標(biāo);
②若拋物線 y 關(guān)于點(diǎn)(0,k+12)的衍生拋物線為 y1,其頂點(diǎn)為 A1;關(guān)于點(diǎn)(0,k+22)的衍生拋物線為 y2,其頂點(diǎn)為 A2;…;關(guān)于點(diǎn)(0,k+n2)的衍生拋物線為 yn,其頂點(diǎn)為 An…(n 為正整數(shù)).求 An An+1 的長(zhǎng)(用含 n 的式子表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】. 在一個(gè)不透明的布袋中裝有三個(gè)小球,小球上分別標(biāo)有數(shù)字﹣1、0、2,它們除了數(shù)字不同外,其他都完全相同.
(1)隨機(jī)地從布袋中摸出一個(gè)小球,則摸出的球?yàn)闃?biāo)有數(shù)字2的小球的概率為 ;
(2)小麗先從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球,記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)M的橫坐標(biāo).再將此球放回、攪勻,然后由小華再?gòu)牟即须S機(jī)摸出一個(gè)小球,記下數(shù)字作為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)M的縱坐標(biāo),請(qǐng)用樹(shù)狀圖或表格列出點(diǎn)M所有可能的坐標(biāo),并求出點(diǎn)M落在如圖所示的正方形網(wǎng)格內(nèi)(包括邊界)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB1C1D1,邊B1C1與CD交于點(diǎn)O,則四邊形AB1OD的面積是(____)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x,縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表:
x | … | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | … |
y | … | 0 | 4 | 6 | 6 | 4 | … |
從上表可知,下列說(shuō)法中正確的是( )
A. 拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為(4,0)
B. 函數(shù)y=ax2+bx+c的最大值為6
C. 拋物線的對(duì)稱軸是x=
D. 在對(duì)稱軸右側(cè),y隨x增大而增大
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干(它們除顏色外都相同),現(xiàn)隨機(jī)從中摸出10枚記下顏色后放回,這樣連續(xù)做了10次,記錄了如下的數(shù)據(jù):
根據(jù)以上數(shù)據(jù),估算袋中的白棋子數(shù)量為( )
A. 60枚B. 50枚C. 40枚D. 30枚
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